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Concept
Groupe trivial
Résumé
En mathématiques, un groupe trivial est un groupe constitué du seul élément e. Tous les groupes triviaux sont isomorphes, c'est pourquoi on dit souvent le groupe trivial.
L'opération de groupe est e + e = e. L'élément e est le neutre, et le groupe est abélien et même cyclique.
On ne doit pas confondre le groupe trivial avec l'ensemble vide (qui n'a pas d'élément, donc pas d'élément neutre, si bien qu'il ne peut pas être un groupe).
Le groupe trivial est « le » groupe cyclique d'ordre 1, noté C1. C'est aussi « l' » objet nul (i. e. à la fois objet initial et objet final) de la catégorie des groupes, parfois noté 0.
Chez beaucoup d'auteurs, le sous-groupe trivial d'un groupe G désigne le sous-groupe réduit à l'élément neutre de G, mais chez certains autres, .
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Catégorie des groupes
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Ordre (théorie des groupes)
En théorie des groupes, une branche des mathématiques, le terme ordre est utilisé dans deux sens intimement liés : L'ordre d'un groupe est le cardinal de son ensemble sous-jacent. Le groupe est dit fini ou infini suivant que son ordre est fini ou infini. Si un élément a d'un groupe G engendre dans G un sous-groupe (monogène) fini d'ordre d, on dit que a est d'ordre fini et, plus précisément, d'ordre d. Si le sous-groupe engendré par a est infini, on dit que a est d'ordre infini.
Treillis des sous-groupes
thumb|Diagramme de Hasse du treillis des sous-groupes du groupe diédral D. En mathématique, le treillis des sous-groupes d'un groupe G est le treillis constitué des sous-groupes de G, muni de l'inclusion comme relation d'ordre partielle. La borne supérieure de deux sous-groupes a et b est le sous-groupe engendré par l'union de a et b et leur borne inférieure est leur intersection. Le groupe diédral D des huit isométries du carré contient dix sous-groupes, y compris D lui-même et son sous-groupe trivial.