Ordre (théorie des groupes)

En théorie des groupes, une branche des mathématiques, le terme ordre est utilisé dans deux sens intimement liés : L'ordre d'un groupe est le cardinal de son ensemble sous-jacent. Le groupe est dit fini ou infini suivant que son ordre est fini ou infini. Si un élément a d'un groupe G engendre dans G un sous-groupe (monogène) fini d'ordre d, on dit que a est d'ordre fini et, plus précisément, d'ordre d. Si le sous-groupe engendré par a est infini, on dit que a est d'ordre infini. Si a est d'ordre fini, son ordre est le plus petit entier strictement positif m tel que am = e (où e désigne l'élément neutre du groupe, et où am désigne le produit de m éléments égaux à a). L'ordre d'un groupe G se note ord(G), |G| ou #G, et l'ordre d'un élément a se note ord(a) ou |a|. Le cube de Rubik permet d'illustrer la notion d'ordre d'un élément d'un groupe, où l'on découvre dans une pratique même élémentaire du cube de nombreux mouvements d'ordres variés(2, 3, 4, 6, ... ). Dans le groupe monogène infini Z, tout élément non nul est d'ordre infini. Dans un groupe cyclique Z/nZ avec n > 0, l'ordre de la classe modulo n d'un entier k est n/PGCD(n, k). Le groupe symétrique ≃ D, constitué de toutes les permutations de trois objets, possède la table de multiplication suivante : {| cellspacing="0" cellpadding="8" border="1" |- ! • ! e || s || t || u || v || w |- ! e | e || s || t || u || v || w |- ! s | s || e || v || w || t || u |- ! t | t || u || e || s || w || v |- ! u | u || t || w || v || e || s |- ! v | v || w || s || e || u || t |- ! w | w || v || u || t || s || e |} Ce groupe possède six éléments, si bien que ord(S) = 6. Par définition, l'ordre de l'élément neutre, e, est 1. Chaque carré de s, t, et w est égal à e, donc ces éléments du groupe sont d'ordre 2. En complétant l'énumération, u et v sont tous deux d'ordre 3, car u = v, u = vu = e, v = u et v = uv = e. L'ordre d'un groupe et l'ordre de ses éléments donnent des informations sur la structure du groupe. Informellement, plus la décomposition de l'ordre est compliquée, plus le groupe l'est.