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Concept
Monoïde
Résumé
En mathématiques, un monoïde est une structure algébrique utilisée en algèbre générale, définie comme un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et d'un élément neutre. Autrement dit, c'est un magma associatif et unifère, c'est-à-dire un demi-groupe unifère.
Il arrive parfois qu'une structure composée d'un ensemble et d'une unique opération soit relativement pauvre en éléments inversibles, par exemple un anneau où l'on considère uniquement la multiplication. Une telle structure est appelée monoïde. L'apparente pauvreté de l'opération donne naissance à une théorie spécifique, comme les relations de Green pour les monoïdes ou les idéaux dans les anneaux même non commutatifs. Une autre technique, lorsque l'on est en présence d'une opération simplifiable, consiste à « enrichir » le monoïde pour en faire un groupe.
Parfois au contraire, la structure de monoïde est parfaitement adéquate. Tel est le cas pour l'algèbre des polynômes en plusieurs indéterminées : on la construit comme l'algèbre d'un monoïde particulier, engendré par un ensemble d'indices.
Un monoïde est un magma unifère associatif.
Formellement, (, ✻, ) est un monoïde lorsque, pour tous éléments , et de :
(loi interne) ;
(associativité) ;
(e est neutre).
Un monoïde E est dit simplifiable à gauche, ou encore régulier à gauche, (respectivement à droite) si
(respectivement )
Un monoïde est dit commutatif si ses éléments sont permutables, c'est-à-dire si :
Soit un monoïde. Notons sa loi de composition sous forme multiplicative, c'est-à-dire que nous écrirons pour désigner le composé noté plus haut. L'élément neutre est alors désigné par 1.
On peut définir par récurrence sur le produit d'un n-uplet d'éléments de par :
le produit du 0-uplet est égal à ;
En étendant cette définition au composé (« produit » dans notre notation) d'une séquence d'éléments de — c'est-à-dire d'une famille indexée par un ensemble fini totalement ordonné —, on démontre :
un théorème d'associativité selon lequel, dans un monoïde, un produit , évalué par cette définition ou en plaçant les parenthèses de n'importe quelle autre façon, donnera le même résultat (par exemple : ).
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