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Concept
Idempotence
Résumé
En mathématiques et en informatique, l'idempotence signifie qu'une opération a le même effet qu'on l'applique une ou plusieurs fois. Par exemple, la valeur absolue est idempotente : , les deux membres étant égaux à 5. On retrouve ce concept en algèbre générale, en particulier dans la théorie des opérateurs de projection et des opérateurs de clôture, mais aussi en informatique, en particulier en programmation fonctionnelle.
Un élément x d'un magma (M, •) est dit idempotent si :
x • x = x.
Si tous les éléments de M sont idempotents pour •, alors • est dite idempotente.
Dans un magma (M, •), l'élément neutre e ou l'élément absorbant a, s'il existe, est un élément idempotent. En effet, e • e = e et a • a = a.
Dans tout magma associatif fini (E, •) non vide, il existe un élément idempotent. En effet, si a est un élément quelconque de E, alors la suite des puissances de a est non injective, donc il existe deux entiers strictement positifs n et p tels que a = a, si bien que a est idempotent.
Dans un groupe (G, •), l'élément neutre e est le seul élément idempotent. En effet, si x est un élément de G tel que x • x = x, alors x • x = x • e et on en déduit x = e en simplifiant à gauche par x (c'est-à-dire en composant à gauche par l'élément symétrique de x).
Dans le monoïde (N, ×), les éléments idempotents sont 0 et 1.
Dans les monoïdes (P(E), ∪) et (P(E), ∩) de l'ensemble des parties d'un ensemble E muni de l'union ensembliste ∪ et de l'intersection ensembliste ∩ respectivement, tout élément est idempotent.
Dans les monoïdes ({0, 1}, ∨) et ({0, 1}, ∧) du domaine booléen muni de la disjonction logique ∨ et de la conjonction logique ∧ respectivement, tout élément est idempotent.
Dans le monoïde (EE, ∘) des applications d'un ensemble E dans lui-même muni de la composition de fonctions ∘, les éléments idempotents sont les applications f : E → E telles que f ∘ f = f, autrement dit telles que pour tout élément x de E, f(f(x)) = f(x) (l' de tout élément de E par f est un point fixe de f).
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