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Concept
Type binomial
Résumé
En mathématiques, une suite de polynômes indexés par des entiers positifs dans laquelle l'indice de chaque polynôme est égal à son degré, est dit de type binomial s'il satisfait la suite d'identités
De nombreuses suites de ce type existent. L'ensemble de toutes ces suites forme un groupe de Lie sous l'opération de composition ombrale. Chaque suite de type binomial peut être exprimée en termes de polynômes de Bell. Chaque suite de type binomial est une suite de Sheffer (mais la réciproque est généralement fausse : la plupart des suites de Sheffer ne sont pas de type binomial). Les suites polynomiales établissent une base solide au pour les notions du calcul ombral.
En conséquence de cette définition, la formule du binôme de Newton peut être énoncée en disant que la suite des monômes {x n : n = 0, 1, 2, ... } est de type binomial.
La suite des factorielles décroissantes est définie par
De même les factorielles croissantes
Les polynômes d'Abel
Les polynômes de Touchard
On peut montrer qu'une suite polynomiale {pn(x) : n = 0, 1, 2, ... } est de type binomial si et seulement si les trois conditions suivantes sont remplies :
La transformation linéaire sur l'espace des polynômes en x est caractérisée par
p0(x) = 1 pour tout x, et
pn(0) = 0 pour n > 0.
(la propriété d'équivariance par décalage de cet opérateur revient à dire que la suite polynomiale est une suite de Sheffer ; l'ensemble des suites de type binomial est proprement inclus dans l'ensemble des suites de Sheffer).
Cette transformation linéaire est clairement un opérateur delta, c'est-à-dire une transformation linéaire équivariante de décalage sur l'espace des polynômes en x qui réduit les degrés des polynômes de 1. Les exemples les plus évidents d'opérateurs delta sont les opérateurs de différence et la différenciation. On peut montrer que chaque opérateur delta peut être écrit comme une série de puissance de la forme
où D est la différenciation (on note que la borne inférieure de la sommation est 1).
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