Calcul ombral

En mathématiques, le calcul ombral est le nom d'un ensemble de techniques de calcul formel qui, avant les années 1970, était plutôt appelé calcul symbolique. Il s'agit de l'étude des similarités surprenantes entre certaines formules polynomiales a priori non reliées entre elles, et d'un ensemble de règles de manipulation (au demeurant assez peu claires) pouvant être utilisées pour les obtenir (mais non les démontrer). Ces techniques furent introduites en 1861 par (et sont parfois connues sous le nom de méthode symbolique de Blissard), mais elles sont souvent attribuées à James Joseph Sylvester, qui les utilisa de manière extensive, ou à Édouard Lucas. On a parfois également employé le terme de calcul symbolique pour désigner le calcul opérationnel de Heaviside, mais les deux méthodes n'ont que peu de points communs. Dans les années 1930 et 1940, Eric Temple Bell essaya, sans grand succès, de donner des bases rigoureuses au calcul ombral. Dans les années 1970, Steven Roman, Gian-Carlo Rota et d'autres développèrent le calcul ombral du point de vue des formes linéaires sur les espaces de polynômes. Actuellement, le calcul ombral est ainsi compris comme l'étude de certaines suites de polynômes, les suites de Sheffer, incluant les suites de polynômes de type binomial (liées aux polynômes de Bell) et les suites d'Appell. La méthode symbolique repose sur des analogies de notation pour obtenir des identités concernant des suites de nombres indexées en « faisant comme si » les indices étaient des exposants. Présenté de la sorte, cela semble absurde, mais cela marche pourtant ; les résultats ainsi obtenus peuvent ensuite être démontrés par des méthodes plus complexes, mais en revanche parfaitement rigoureuses. Voici un exemple mettant en jeu les polynômes de Bernoulli : considérons le développement binomial ordinaire et la relation remarquablement similaire sur les polynômes de Bernoulli : Comparons aussi la dérivée ordinaire à la relation très similaire sur les polynômes de Bernoulli : Ces similarités nous permettent de construire des « démonstrations » ombrales, qui, de prime abord ne peuvent pas être correctes, mais qui semblent donner tout de même des formules exactes.