Récursivement énumérableEn théorie de la calculabilité, un ensemble d'entiers naturels est récursivement énumérable ou semi-décidable si : il existe un algorithme qui prend un entier naturel en entrée, et qui s'arrête exactement sur les entiers de ; ou, de manière équivalente : il existe un procédé algorithmique qui, au cours de son fonctionnement, énumère en sortie tous les entiers de et seulement ceux-ci (il est possible, et même nécessaire quand est infini, qu'il ne s'arrête pas).
Computable functionComputable functions are the basic objects of study in computability theory. Computable functions are the formalized analogue of the intuitive notion of algorithms, in the sense that a function is computable if there exists an algorithm that can do the job of the function, i.e. given an input of the function domain it can return the corresponding output. Computable functions are used to discuss computability without referring to any concrete model of computation such as Turing machines or register machines.
Problème de l'arrêtvignette|L'animation illustre une machine impossible : il n'y a pas de machine qui lit n'importe quel code source d'un programme et dit si son exécution termine ou non. En théorie de la calculabilité, le problème de l'arrêt est le problème de décision qui détermine, à partir d'une description d'un programme informatique, et d'une entrée, si le programme s'arrête avec cette entrée ou non.
Paradoxe de RichardLe paradoxe de Richard est le paradoxe suivant, qui apparaît lorsqu'une théorie des ensembles n'est pas suffisamment formalisée : Son auteur, le mathématicien français Jules Richard, professeur au lycée de Dijon, le décrivit dans une lettre au directeur de la Revue générale des Sciences Pures et Appliquées. Ce dernier décida de la publier, sous forme d'un court article, dans le numéro du de cette revue. Il a joué un rôle important dans les recherches sur les fondements des mathématiques, en particulier au début du , et a suscité depuis sa publication en 1905 de nombreux commentaires.
DiophantienL'adjectif diophantien () (du nom de Diophante d'Alexandrie) s'applique à tout ce qui concerne les équations polynomiales à coefficients entiers, également appelées équations diophantiennes. Les notions qui suivent ont été développées pour venir à bout du dixième problème de Hilbert. Il s'agit de savoir s'il existe un algorithme général permettant de dire si, oui ou non, il existe une solution à une équation diophantienne. Le théorème de Matiyasevich prouve l'impossibilité de l'existence d'un tel algorithme.
Théorème de TarskiNOTOC En logique mathématique, le théorème de Tarski, ou théorème de non définissabilité de Tarski, s'énonce informellement ainsi :On ne peut définir dans le langage de l'arithmétique la vérité des énoncés de ce langage. On s'intéresse ici aux formules du premier ordre sur le langage « 0, s, +, ×, ≤ » vraies sur les entiers. Il s'agit de l'arithmétique vraie (ou la vérité dans N : les nombres entiers positifs). On suppose que le langage est récursif : ce qui est le cas quand les symboles primitifs, « 0, s, +, ×, ≤ » pour l'arithmétique de Peano, sont en nombre fini.
Fonction récursive primitiveEn théorie de la calculabilité, une fonction récursive primitive est une fonction construite à partir de la fonction nulle, de la fonction successeur, des fonctions projections et des schémas de récursion primitive (ou bornée) et de composition. Ces fonctions constituent un sous-ensemble strict des fonctions récursives. Elles ont été initialement analysées par la mathématicienne Rózsa Péter. On s'intéresse aux fonctions définies sur l'ensemble des entiers naturels, ou sur les ensembles des -uplets d'entiers naturels, et à valeurs dans .
Problème de la décisionEn logique mathématique, on appelle problème de la décision ou, sous son nom d'origine en allemand, Entscheidungsproblem, le fait de déterminer de façon mécanique (par un algorithme) si un énoncé est un théorème de la logique égalitaire du premier ordre, c’est-à-dire s'il se dérive dans un système de déduction sans autres axiomes que ceux de l'égalité (exemples : système à la Hilbert, calcul des séquents, déduction naturelle).
Machine de TuringEn informatique théorique, une machine de Turing est un modèle abstrait du fonctionnement des appareils mécaniques de calcul, tel un ordinateur. Ce modèle a été imaginé par Alan Turing en 1936, en vue de donner une définition précise au concept d’algorithme ou de « procédure mécanique ». Il est toujours largement utilisé en informatique théorique, en particulier dans les domaines de la complexité algorithmique et de la calculabilité.
Système formelUn système formel est une modélisation mathématique d'un langage en général spécialisé. Les éléments linguistiques, mots, phrases, discours, etc., sont représentés par des objets finis (entiers, suites, arbres ou graphes finis...). Le propre d'un système formel est que la correction au sens grammatical de ses éléments est vérifiable algorithmiquement, c'est-à-dire que ceux-ci forment un ensemble récursif.
