Diophantien

L'adjectif diophantien () (du nom de Diophante d'Alexandrie) s'applique à tout ce qui concerne les équations polynomiales à coefficients entiers, également appelées équations diophantiennes. Les notions qui suivent ont été développées pour venir à bout du dixième problème de Hilbert. Il s'agit de savoir s'il existe un algorithme général permettant de dire si, oui ou non, il existe une solution à une équation diophantienne. Le théorème de Matiyasevich prouve l'impossibilité de l'existence d'un tel algorithme. Un sous-ensemble M de Nn est dit diophantien s'il existe un polynôme D à n + p variables à coefficients entiers relatifs tel que : a ∈ M ⇔ il existe x élément de Np tel que D(a, x) = 0 L'ensemble des nombres pairs est diophantien car : a pair ⇔ il existe x tel que a – 2x = 0 L'ensemble des nombres non premiers est diophantien car : a est non premier ⇔ il existe (x,y) tel que a - (x+2)(y+2) = 0 Une astuce simple due à Hilary Putnam permet de montrer que si un ensemble M d'entiers naturels non nuls est diophantien, il est l'ensemble des valeurs strictement positives d'un polynôme à coefficients entiers, pour des valeurs positives des variables. En reprenant la définition dans le cas où n = 1. Il existe un polynôme D à p + 1 variables et coefficients entiers relatifs tel que a ∈ M ⇔ ∃ x ∈ Np, D(a, x) = 0. On introduit alors le polynôme (1 – D(y,x)2) dont toutes les valeurs sont inférieures ou égales à 1. En particulier la seule valeur strictement positive 1 est atteinte si et seulement si D(y,x) est nul et donc si et seulement si y ∈ M. L'ensemble M est donc l'ensemble des valeurs strictement positives du polynôme y(1 – D(y,x)2) : M = N* ∩ {y(1 – D(y,x)2) | x ∈ Np et y ∈ N} Par exemple, l'ensemble des nombres de Fibonacci est constitué des valeurs positives du polynôme y(2 – (x2 + xy – y2)2). Les paramètres x ont été choisis positifs, mais, tout entier naturel étant somme de 4 carrés, il est possible, en modifiant le polynôme, de prendre des paramètres dans Z. On montre aisément que la réunion ou l'intersection de deux ensembles diophantiens est diophantien.