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Concept
Diophantien
Résumé
L'adjectif diophantien () (du nom de Diophante d'Alexandrie) s'applique à tout ce qui concerne les équations polynomiales à coefficients entiers, également appelées équations diophantiennes. Les notions qui suivent ont été développées pour venir à bout du dixième problème de Hilbert. Il s'agit de savoir s'il existe un algorithme général permettant de dire si, oui ou non, il existe une solution à une équation diophantienne. Le théorème de Matiyasevich prouve l'impossibilité de l'existence d'un tel algorithme.
Un sous-ensemble M de Nn est dit diophantien s'il existe un polynôme D à n + p variables à coefficients entiers relatifs tel que :
a ∈ M ⇔ il existe x élément de Np tel que D(a, x) = 0
L'ensemble des nombres pairs est diophantien car :
a pair ⇔ il existe x tel que a – 2x = 0
L'ensemble des nombres non premiers est diophantien car :
a est non premier ⇔ il existe (x,y) tel que a - (x+2)(y+2) = 0
Une astuce simple due à Hilary Putnam permet de montrer que si un ensemble M d'entiers naturels non nuls est diophantien, il est l'ensemble des valeurs strictement positives d'un polynôme à coefficients entiers, pour des valeurs positives des variables.
En reprenant la définition dans le cas où n = 1. Il existe un polynôme D à p + 1 variables et coefficients entiers relatifs tel que
a ∈ M ⇔ ∃ x ∈ Np, D(a, x) = 0.
On introduit alors le polynôme (1 – D(y,x)2) dont toutes les valeurs sont inférieures ou égales à 1.
En particulier la seule valeur strictement positive 1 est atteinte si et seulement si D(y,x) est nul et donc si et seulement si y ∈ M.
L'ensemble M est donc l'ensemble des valeurs strictement positives du polynôme y(1 – D(y,x)2) :
M = N* ∩ {y(1 – D(y,x)2) | x ∈ Np et y ∈ N}
Par exemple, l'ensemble des nombres de Fibonacci est constitué des valeurs positives du polynôme y(2 – (x2 + xy – y2)2).
Les paramètres x ont été choisis positifs, mais, tout entier naturel étant somme de 4 carrés, il est possible, en modifiant le polynôme, de prendre des paramètres dans Z.
On montre aisément que la réunion ou l'intersection de deux ensembles diophantiens est diophantien.
Source officielle
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