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Concept
Calcul du volume de l'hypersphère
Résumé
La démonstration mathématique suivante pour le calcul du volume de l'hypersphère dépend des définitions précises de la sphère et de la boule. Le volume intérieur d'une sphère est le volume de la boule délimitée par la sphère.
Nous intégrerons en coordonnées cartésiennes orthonormales dans l'espace euclidien.
Notons le volume de la boule de rayon r en dimension n ≥ 1.
Alors :
parce que c'est la longueur d'un segment deux fois plus long que le rayon, i.e.
La sphère de dimension 0 qui borde cette boule est constituée des deux points r et –r.
Pour tout n ≥ 1 nous avons (d'après le théorème de Fubini) :
Nous montrerons premièrement par récurrence sur n que le volume d'une n-boule est proportionnel à la n-ième puissance de son rayon. Nous avons déjà observé que c'est vrai en dimension 1. Supposons maintenant que ce soit vrai en dimension n, i.e. :
Alors,
Nous avons établi que pour tout n ≥ 1, le volume d'une n-boule est proportionnel à la n-ième puissance de son rayon ; c'est-à-dire que si nous notons le volume de la n-boule unitaire, nous avons :
Dans le cas de nous avons :
qui est « l'aire intérieure du cercle unité », ou plus exactement, l'aire du disque borné par ce cercle. On en déduit facilement :
Ceci est « le volume intérieur de la sphère unité », ou plus exactement, le volume de la boule délimitée par cette sphère.
Essayons maintenant de généraliser cette démonstration au cas de la boule en dimension supérieure :
Voici un graphe de la fonction que nous avons intégrée ici, pour rendre plus facile la visualisation de cette fonction dans plusieurs dimensions :
Les hyperboules se pincent de plus en plus comme la dimension croît. (Plus précisément, puisque nous intégrons en coordonnées rectangulaires, et que les boîtes rectangulaires circonscrites aux boules s'étendent de plus en plus hors des boules comme la dimension croît, les boules nous paraissent de plus en plus pincées au point de vue des coordonnées dans lesquelles nous intégrons.
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