In mathematics, a unit sphere is simply a sphere of radius one around a given center. More generally, it is the set of points of distance 1 from a fixed central point, where different norms can be used as general notions of "distance". A unit ball is the closed set of points of distance less than or equal to 1 from a fixed central point. Usually the center is at the origin of the space, so one speaks of "the unit ball" or "the unit sphere".
Special cases are the unit circle and the unit disk.
The importance of the unit sphere is that any sphere can be transformed to a unit sphere by a combination of translation and scaling. In this way the properties of spheres in general can be reduced to the study of the unit sphere.
In Euclidean space of n dimensions, the (n−1)-dimensional unit sphere is the set of all points which satisfy the equation
The n-dimensional open unit ball is the set of all points satisfying the inequality
and the n-dimensional closed unit ball is the set of all points satisfying the inequality
The classical equation of a unit sphere is that of the ellipsoid with a radius of 1 and no alterations to the x-, y-, or z- axes:
The volume of the unit ball in n-dimensional Euclidean space, and the surface area of the unit sphere, appear in many important formulas of analysis. The volume of the unit ball in n dimensions, which we denote Vn, can be expressed by making use of the gamma function. It is
where n!! is the double factorial.
The hypervolume of the (n−1)-dimensional unit sphere (i.e., the "area" of the boundary of the n-dimensional unit ball), which we denote An−1, can be expressed as
where the last equality holds only for n > 0. For example, is the "area" of the boundary of the unit ball , which simply counts the two points. Then is the "area" of the boundary of the unit disc, which is the circumference of the unit circle. is the area of the boundary of the unit ball , which is the surface area of the unit sphere .
The surface areas and the volumes for some values of are as follows:
where the decimal expanded values for n ≥ 2 are rounded to the displayed precision.
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This is an introductory course to the concentration of measure phenomenon - random functions that depend on many random variables tend to be often close to constant functions.
La démonstration mathématique suivante pour le calcul du volume de l'hypersphère dépend des définitions précises de la sphère et de la boule. Le volume intérieur d'une sphère est le volume de la boule délimitée par la sphère. Nous intégrerons en coordonnées cartésiennes orthonormales dans l'espace euclidien. Notons le volume de la boule de rayon r en dimension n ≥ 1. Alors : parce que c'est la longueur d'un segment deux fois plus long que le rayon, i.e. La sphère de dimension 0 qui borde cette boule est constituée des deux points r et –r.
thumb|Cercle unité Le cercle unité est une expression courante pour désigner l'ensemble des nombres complexes de module 1. Si le module est vu comme une norme euclidienne, le cercle est une courbe de longueur 2π, et est le bord d'un disque d'aire π. Le cercle unité est l'image de l'axe des imaginaires purs iR par l'exponentielle complexe. Le cercle unité est stable par produit. C'est un sous-groupe du groupe des inversibles C* de C. Plus précisément, c'est son plus grand sous-groupe compact.
En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe. La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne.
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CAMBRIDGE UNIV PRESS2021
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