In mathematics, Gegenbauer polynomials or ultraspherical polynomials C(x) are orthogonal polynomials on the interval [−1,1] with respect to the weight function (1 − x2)α–1/2. They generalize Legendre polynomials and Chebyshev polynomials, and are special cases of Jacobi polynomials. They are named after Leopold Gegenbauer.
File:Plot of the Gegenbauer polynomial C n^(m)(x) with n=10 and m=1 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|Plot of the Gegenbauer polynomial C n^(m)(x) with n=10 and m=1 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
File:Mplwp gegenbauer Cn05a1.svg|Gegenbauer polynomials with ''α''=1
File:Mplwp gegenbauer Cn05a2.svg|Gegenbauer polynomials with ''α''=2
File:Mplwp gegenbauer Cn05a3.svg|Gegenbauer polynomials with ''α''=3
File:Gegenbauer polynomials.gif|An animation showing the polynomials on the ''xα''-plane for the first 4 values of ''n''.
A variety of characterizations of the Gegenbauer polynomials are available.
The polynomials can be defined in terms of their generating function :
The polynomials satisfy the recurrence relation :
Gegenbauer polynomials are particular solutions of the Gegenbauer differential equation :
When α = 1/2, the equation reduces to the Legendre equation, and the Gegenbauer polynomials reduce to the Legendre polynomials.
When α = 1, the equation reduces to the Chebyshev differential equation, and the Gegenbauer polynomials reduce to the Chebyshev polynomials of the second kind.
They are given as Gaussian hypergeometric series in certain cases where the series is in fact finite:
(Abramowitz & Stegun p. 561). Here (2α)n is the rising factorial. Explicitly,
From this it is also easy to obtain the value at unit argument:
They are special cases of the Jacobi polynomials :
in which represents the rising factorial of .
One therefore also has the Rodrigues formula
For a fixed α > -1/2, the polynomials are orthogonal on [−1, 1] with respect to the weighting function (Abramowitz & Stegun p.
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thumb|right|320px|Tracé du polynôme de Gegenbauer C(x) pour n=10 et m=1 sur le plan complexe entre -2-2i et 2+2i En mathématiques, les polynômes de Gegenbauer ou polynômes ultrasphériques sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont nommés ainsi en l'honneur de Leopold Gegenbauer (1849-1903). Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie : où est la factorielle décroissante.
En mathématiques, les polynômes de Jacobi sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie : où est le symbole de Pochhammer pour la factorielle croissante, (Abramowitz & Stegun p561.) et ainsi, nous avons l'expression explicite pour laquelle la valeur finale est Ici, pour l'entier et est la fonction gamma usuelle, qui possède la propriété pour .
En mathématiques, un polynôme de Tchebychev est un terme de l'une des deux suites de polynômes orthogonaux particulières reliées à la formule de Moivre. Les polynômes de Tchebychev sont nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Pafnouti Lvovitch Tchebychev. Il existe deux suites de polynômes de Tchebychev, l'une nommée polynômes de Tchebychev de première espèce et notée T et l'autre nommée polynômes de Tchebychev de seconde espèce et notée U (dans les deux cas, l'entier naturel n correspond au degré).
Couvre l'équation générale de la période d'oscillation, les conditions initiales, l'intégration, les intégrales elliptiques, les polynômes Legendre, le travail, l'énergie cinétique et la puissance.