Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Méthodes de Runge-Kutta
Résumé
Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodes d'analyse numérique d'approximation de solutions d'équations différentielles. Elles ont été nommées ainsi en l'honneur des mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta, lesquels élaborèrent la méthode en 1901.
Ces méthodes reposent sur le principe de l'itération, c'est-à-dire qu'une première estimation de la solution est utilisée pour calculer une seconde estimation, plus précise, et ainsi de suite.
Considérons le problème suivant :
que l'on va chercher à résoudre en un ensemble discret t < t < ... < t. Plutôt que de chercher une méthode directe, les méthodes de Runge-Kutta proposent d'introduire les points intermédiaires afin de calculer par récurrence les valeurs (t , y) avec
où h = t – t est le pas de temps et c est dans l'intervalle [0 ; 1].
Pour chaque point intermédiaire, on note la pente correspondante
Ainsi, pour une solution exacte y du problème, on a
On calculera ces intégrales par une méthode de quadrature, qu'on peut choisir différentes pour deux valeurs distinctes de i :
calculées ici pour g(u) = f(t + u h, y(t + u h)).
La méthode de Runge-Kutta d'ordre q sera donc donnée par :
On résume la méthode souvent par le tableau des différents poids de quadrature, appelé tableau de Butcher :
La méthode est consistante si .
Cette méthode est équivalente à la méthode d'Euler, une méthode simple de résolution d'équations différentielles du .
Considérons le problème suivant :
La méthode RK1 utilise l'équation
où h est le pas de l'itération.
Le problème s'écrit donc :
La méthode RK2 du point milieu est une composition de la méthode d'Euler :
où h est le pas de l'itération.
Elle consiste à estimer la dérivée au milieu du pas d'intégration :
et à refaire le pas d'intégration complet à partir de cette estimation :
Ce schéma est couramment appelé schéma prédicteur-correcteur explicite.
C'est le cas particulier pour α = 1/2 de la méthode plus générale :
On reconnait ainsi que la méthode de quadrature utilisée pour les temps intermédiaires est celle du point milieu.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Cours associés (31)
ME-273: Introduction to control of dynamical systems
Cours introductif à la commande des systèmes dynamiques. On part de quatre exemples concrets et on introduit au fur et à mesure un haut niveau d'abstraction permettant de résoudre de manière unifiée l
MATH-351: Advanced numerical analysis
The student will learn state-of-the-art algorithms for solving differential equations. The analysis and implementation of these algorithms will be discussed in some detail.
ChE-312: Numerical methods
This course introduces students to modern computational and mathematical techniques for solving problems in chemistry and chemical engineering. The use of introduced numerical methods will be demonstr
Publications associées (262)