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Concept
Fonction polylogarithme
Résumé
La fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction spéciale qui peut être définie pour tout s et z < 1 par :
Le paramètre s et l'argument z sont pris sur l'ensemble C des nombres complexes. Les cas particuliers s = 2 et s = 3 sont appelés le polylogarithme d'ordre 2 ou dilogarithme et le polylogarithme d'ordre 3 ou trilogarithme respectivement. Le polylogarithme apparaît aussi dans la forme fermée de l'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac et la distribution de Bose-Einstein et est quelquefois connue comme l'intégrale de Fermi-Dirac ou l'intégrale de Bose-Einstein.
Par prolongement analytique, on peut également donner un sens au polylogarithme pour z ≥ 1.
Dans le cas important où le paramètre s est un nombre entier, il sera représenté par n (ou -n lorsqu'il est négatif). Il est souvent pratique de définir μ = ln(z)
où ln est la branche principale du logarithme naturel, c’est-à-dire . Ainsi, toute l'exponentiation sera supposée être à valeur unique. (e.g. z = e).
Dépendant du paramètre s, le polylogarithme peut être à valeurs multiples.
La branche principale du polylogarithme est celle pour laquelle Li(z) est réel pour z réel,
0 ≤ z ≤ 1 et est continu excepté sur l'axe des réels positifs, où une coupure est faite de z = 1 à l'infini telle que la coupure place l'axe réel sur le demi-plan le plus bas de z. En termes de μ, ceci s'élève à –π < arg(–μ) < π. Le fait que le polylogarithme puisse être discontinu en μ peut causer une certaine confusion.
Pour z réel et supérieur ou égal à 1, la partie imaginaire du polylogarithme est :
En traversant la coupure :
Les dérivées du polylogarithme s'expriment également avec le polylogarithme :
Voir aussi la section « Relation de parenté avec les autres fonctions » ci-dessous.
Pour les valeurs entières de s, on peut écrire les expressions explicites suivantes :
Le polylogarithme, pour toutes les valeurs entières négatives de s, peut être exprimé comme une fraction rationnelle en z (voir les représentations en série ci-dessus).
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