Entier naturel | EPFL Graph Search

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En mathématiques, un entier naturel est un nombre permettant fondamentalement de compter des objets considérés comme des unités équivalentes : un jeton, deux jetons... une carte, deux cartes, trois cartes... Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule). L’étude des entiers naturels est l’objet de l’arithmétique, branche des mathématiques, constituée dès l'Antiquité grecque. Chaque nombre entier a un successeur unique, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur, et la liste des entiers naturels est infinie. Les définitions modernes d’entier naturel sont fondées sur : l’axiomatisation de l’arithmétique réalisée par Peano et Dedekind à la fin du ; la construction d’ensembles vérifiant les axiomes de l’arithmétique : Ernst Zermelo, quand il a axiomatisé la théorie des ensembles, a montré que les entiers naturels pouvaient être définis en termes ensemblistes (on utilise aujourd'hui le plus souvent une méthode due à von Neumann). La définition originelle, due à Richard Dedekind, de l'ensemble des entiers naturels ne comprend pas le nombre zéro ; plus récemment une autre définition a été proposée qui inclut zéro. Ces deux définitions coexistent encore aujourd'hui. Selon les acceptions, la liste des entiers naturels est donc : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; ... ou 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; ... Quelle que soit la définition choisie (entiers commençant à zéro ou commençant à un), l'ensemble des entiers naturels est conventionnellement noté « N » ou « N », avec tous les risques induits de mésinterprétation. La notation est due à Dedekind en 1888, qui l'utilise pour l'ensemble des entiers commençant à un. On trouve parfois des notations moins ambiguës exposées dans la section Notations. Lorsqu'on prend comme définition de N l'ensemble des entiers naturels les entiers commençant à un, alors l'ensemble des entiers positifs ou nuls, appelés en anglais non-negative integers, est parfois noté « ».

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En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.

vignette|Le raisonnement par récurrence est comme une suite de dominos. Si la propriété est vraie au rang n0 (i. e. le premier domino de numéro 0 tombe) et si sa véracité au rang n implique celle au rang n + 1 (i. e. la chute du domino numéro n fait tomber le domino numéro n + 1) alors la propriété est vraie pour tout entier (i. e. tous les dominos tombent). En mathématiques, le raisonnement par récurrence (ou par induction, ou induction complète) est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels.