Entier naturel | EPFL Graph Search

En mathématiques, un entier naturel est un nombre permettant fondamentalement de compter des objets considérés comme des unités équivalentes : un jeton, deux jetons... une carte, deux cartes, trois cartes... Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule). L’étude des entiers naturels est l’objet de l’arithmétique, branche des mathématiques, constituée dès l'Antiquité grecque. Chaque nombre entier a un successeur unique, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur, et la liste des entiers naturels est infinie. Les définitions modernes d’entier naturel sont fondées sur : l’axiomatisation de l’arithmétique réalisée par Peano et Dedekind à la fin du ; la construction d’ensembles vérifiant les axiomes de l’arithmétique : Ernst Zermelo, quand il a axiomatisé la théorie des ensembles, a montré que les entiers naturels pouvaient être définis en termes ensemblistes (on utilise aujourd'hui le plus souvent une méthode due à von Neumann). La définition originelle, due à Richard Dedekind, de l'ensemble des entiers naturels ne comprend pas le nombre zéro ; plus récemment une autre définition a été proposée qui inclut zéro. Ces deux définitions coexistent encore aujourd'hui. Selon les acceptions, la liste des entiers naturels est donc : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; ... ou 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; ... Quelle que soit la définition choisie (entiers commençant à zéro ou commençant à un), l'ensemble des entiers naturels est conventionnellement noté « N » ou « N », avec tous les risques induits de mésinterprétation. La notation est due à Dedekind en 1888, qui l'utilise pour l'ensemble des entiers commençant à un. On trouve parfois des notations moins ambiguës exposées dans la section Notations. Lorsqu'on prend comme définition de N l'ensemble des entiers naturels les entiers commençant à un, alors l'ensemble des entiers positifs ou nuls, appelés en anglais non-negative integers, est parfois noté « ».

Efficient Continual Finite-Sum Minimization

Volkan Cevher, Efstratios Panteleimon Skoulakis, Leello Tadesse Dadi

Given a sequence of functions

f_1,\ldots,f_n

with

f_i:\mathcal{D}\mapsto \mathbb{R}

, finite-sum minimization seeks a point

{x}^\star \in \mathcal{D}

minimizing

\sum_{j=1}^nf_j(x)/n

. In this work, we propose a key twist into the finite-sum minimizat ...

2024