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Concept
Ensemble dénombrable
Résumé
En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers. Certains ensembles infinis, au contraire, contiennent « trop » d'éléments pour être parcourus complètement par l'infinité des entiers et sont donc dits « non dénombrables ».
Il existe deux usages du mot « dénombrable » en mathématiques, suivant que l'on comprend ou non parmi les ensembles dénombrables les ensembles finis, dont les éléments peuvent être numérotés par les entiers positifs inférieurs à une valeur donnée. C'est seulement quand on comprend les ensembles finis parmi les ensembles dénombrables qu'il est utile de préciser infini dénombrable.
Georg Cantor est le premier à faire usage de cette notion, dans un article publié en 1874, qui marque la naissance de la théorie des ensembles. Mais l'importance du dénombrable se manifeste dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment en analyse, en théorie de la mesure et en topologie.
On trouve en mathématiques deux définitions de « dénombrable » qui ne sont pas équivalentes.
Selon la première, un ensemble E est dit dénombrable quand il existe une bijection entre l'ensemble N des entiers naturels et E (on dit qu'il est équipotent à l'ensemble N des entiers naturels). C'est la définition originale de Cantor.
Selon la seconde, un ensemble E est dit dénombrable quand il est en bijection avec une partie de N, ce qui revient à ajouter aux ensembles en bijection avec N les ensembles finis, tout sous-ensemble de N étant fini ou dénombrable. Un ensemble équipotent à N est alors appelé « ensemble infini dénombrable ».
Le choix est fait dans la suite de l'article d'adopter la première définition, même si on précise parfois « ensembles infinis dénombrables » qui est sans ambiguïté quelle que soit la définition utilisée. Les ensembles en bijection avec une partie de N sont alors appelés « ensembles au plus dénombrables » ou encore « ensembles finis ou dénombrables ».
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