Concept

Permanent (mathématiques)

Le permanent est un outil d'algèbre linéaire. Par définition, le permanent d'une matrice carrée d'ordre n vaut : désigne le groupe symétrique d'indice n. Par exemple : La définition est très proche de celle du déterminant d'une matrice : où ε(σ) est la signature de la permutation σ. On peut remarquer que pour tout n, la signature et la fonction constante égale à 1 sont (à isomorphisme près) les seuls morphismes de groupes de dans un groupe abélien. Le permanent peut être vu comme une forme n-linéaire symétrique prenant n vecteurs comme arguments (les colonnes d'une matrice). Il existe pour le permanent des formules analogues à celles du déterminant : Le permanent de la transposée d'une matrice est égal au permanent de la matrice. Il existe une formule similaire de développement d'un permanent le long d'une colonne : si , et est la matrice obtenue à partir de A en supprimant la i-ième ligne et la j-ième colonne, alors . Le permanent d'une matrice triangulaire par blocs vaut . Mais contrairement au déterminant, le permanent n'est pas multiplicatif. Une matrice booléenne carrée , peut être comprise comme la matrice d'adjacence d'un graphe biparti dont les sommets seraient d'une part et de l'autre, où vaut 1 s'il existe un lien entre le sommet et le sommet et 0 sinon. Un couplage est parfait s'il est incident à tous les sommets du graphe, c'est-à-dire qu'on peut l'associer à une permutation des sommets telle que . On peut donc interpréter le permanent de A comme le nombre de couplages parfaits du graphe biparti associé à la matrice carrée . Notons qu'en définissant le poids d'un couplage comme le produit des poids des arêtes du couplage, un raisonnement similaire avec une matrice carrée quelconque A permet d'affirmer que le permanent de A est la somme des poids de tous les couplages parfaits du graphe biparti pondéré associé. En 1926, van der Waerden conjectura que le permanent d'une matrice bistochastique de dimension n est supérieur à n!/n, valeur atteinte par la matrice ne contenant que des 1/n.

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Concepts associés (3)
Matrice de permutation
Une matrice de permutation est une matrice carrée qui vérifie les propriétés suivantes : les coefficients sont 0 ou 1 ; il y a un et un seul 1 par ligne ; il y a un et un seul 1 par colonne. Ainsi : est une matrice de permutation. Les matrices de permutations carrées de taille n sont en bijection avec les permutations de l'ensemble {1,2,...n}. Si σ est une telle permutation, la matrice correspondante est de terme général Cette bijection est un morphisme de groupes : En utilisant cette identité avec deux permutations inverses l'une de l'autre, on obtient le fait qu'une matrice de permutation est inversible, et que son inverse est la matrice de la permutation inverse.
Graphe biparti
En théorie des graphes, un graphe est dit biparti si son ensemble de sommets peut être divisé en deux sous-ensembles disjoints et tels que chaque arête ait une extrémité dans et l'autre dans . Un graphe biparti permet notamment de représenter une relation binaire. Il existe plusieurs façons de caractériser un graphe biparti. Par le nombre chromatique Les graphes bipartis sont les graphes dont le nombre chromatique est inférieur ou égal à 2. Par la longueur des cycles Un graphe est biparti si et seulement s'il ne contient pas de cycle impair.
Matrice d'adjacence
En mathématiques, en théorie des graphes, en informatique, une matrice d'adjacence pour un graphe fini à n sommets est une matrice de dimension n × n dont l'élément non diagonal a est le nombre d'arêtes liant le sommet i au sommet j. L'élément diagonal a est le nombre de boucles au sommet i (pour des graphes simples, ce nombre est donc toujours égal à 0 ou 1). Cet outil mathématique est très utilisé comme structure de données en informatique (tout comme la représentation par liste d'adjacence), mais intervient aussi naturellement dans les chaînes de Markov.

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