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Concept
Arithmétique d'intervalles
Résumé
En mathématiques et en informatique, l'arithmétique des intervalles est une méthode de calcul consistant à manipuler des intervalles, par opposition à des nombres (par exemple entiers ou flottants), dans le but d'obtenir des résultats plus rigoureux. Cette approche permet de borner les erreurs d'arrondi ou de méthode et ainsi de développer des méthodes numériques qui fournissent des résultats fiables. L'arithmétique des intervalles est une branche de l'arithmétique des ordinateurs.
La représentation concrète d'un nombre réel est en général impossible. Par exemple, écrire = 1,414 est faux, puisque 1,414 élevé au carré vaut exactement et non 2. Dans un ordinateur, les nombres flottants ne sont que des approximations des nombres réels, et les opérations arithmétiques ne sont en général que des approximations des opérations mathématiques associées. Par exemple, avec un processeur utilisant la norme IEEE 754, le calcul « sin(cos–1(–1)) »
donne et non 0, qui est la véritable valeur attendue (sin(arccos(–1))=0). Plus problématique, l'évaluation de « sin(cos–1(–1)) = 0 » renvoie faux.
L'arithmétique des intervalles est une méthode qui permet d'encadrer avec certitude le résultat des opérations que l'on effectue. Par exemple on pourra écrire 2 ∈ [2;2] puis en déduire ∈ [1,414 ; 1,415].
La conception ou la vérification d'un système peut mener à des calculs avec des valeurs bornées plutôt que connues exactement. Ainsi l'utilisation de composants connus à 1 %, 5 % voire 20 % présuppose de vérifier si leur dispersion est ou non critique.
Dans la mesure où lorsqu'on travaille en intervalles on sait avec précision les limitations de ce qu'on traite, cette représentation permet d'élargir le domaine des preuves de programmes.
Dans l'arithmétique des intervalles, un nombre réel x est représenté par une paire de nombres flottants (x , x).
Dire que x est représenté par cette paire signifie que x appartient à l'intervalle
[x , x], autrement dit que les assertions x ≤ x et x ≤ x sont vraies. La notion d'égalité d'un nombre et de sa représentation disparaît, sauf si x = x.
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