Propagation des incertitudes

Une mesure est toujours entachée d'erreur, dont on estime l'intensité par l'intermédiaire de l'incertitude. Lorsqu'une ou plusieurs mesures sont utilisées pour obtenir la valeur d'une ou de plusieurs autres grandeurs (par l'intermédiaire d'une formule explicite ou d'un algorithme), il faut savoir, non seulement calculer la valeur estimée de cette ou ces grandeurs, mais encore déterminer l'incertitude ou les incertitudes induites sur le ou les résultats du calcul. On parle de propagation des incertitudes ou souvent, mais improprement, de propagation des erreurs (ou de propagation d'incertitude et propagation d'erreur). thumb|alt=alternative textuelle|320px|right|Évolution, de droite à gauche, en fonction du nombre de pas, de la position d'un marcheur aléatoire dans un plan. L'écart-type de sa position suit la formule de propagation des incertitudes analogue aux lois de la diffusion. La première solution consiste à effectuer les calculs avec les extrêmes de l'intervalle d'incertitude. Si la mesure a pour valeur alors la « valeur réelle » est supposée être dans l'intervalle . On calcule donc ici et, selon l'ordre de y et de y, on prend [y, y] ou [y, y] comme intervalle d'incertitude. Cette méthode n'est valable que si la loi est monotone (c'est-à-dire croissante ou décroissante) sur l'intervalle . Une manière simple, utilisée fréquemment en physique, consiste à utiliser un développement limité du premier ordre, c'est-à-dire à remplacer la loi f par sa tangente locale pour estimer la propagation de l'incertitude. On a : où o(x) est une fonction qui « tend vite » vers 0. Si l'on remplace x par , on a alors : On peut donc estimer : Ce calcul est tout aussi valable dans le cadre de la propagation simple des incertitudes (loi des erreurs uniforme ou normale), que dans le cadre (normalisé) des incertitudes estimées par intervalles de confiance. La double hypothèse sous-jacente à la validité de ce calcul est dite de « quasi-linéarité » et « quasi-gaussiannité ».