vignette|Une grille et son image par f d'une fonction holomorphe.
En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe C.
Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle. Elle entraîne (via la théorie de Cauchy) que la fonction est analytique : elle est infiniment dérivable et est égale, au voisinage de tout point de l'ouvert, à la somme de sa série de Taylor.
Un fait remarquable en découle : les notions de fonction analytique complexe et de fonction holomorphe coïncident. Pour cette raison, les fonctions holomorphes constituent le pilier central de l'analyse complexe.
On remarquera que certains auteurs exigent de la fonction ainsi obtenue d'être continue. C'est en fait seulement un moyen de simplifier des démonstrations ; en effet, la définition présentée ici implique de toute façon sa continuité (en vertu du théorème de Morera).
Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est entière.
Toute fonction rationnelle à coefficients complexes est holomorphe sur le complémentaire de l'ensemble de ses pôles (c'est-à-dire les zéros de son dénominateur, quand elle est écrite sous forme irréductible). Par exemple, la fonction inverse z ↦ 1/z est holomorphe sur C*.
Soit ∑ a z une série entière à coefficients complexes de rayon de convergence non nul (fini ou non) ; on note D son disque de convergence.La fonction f de D dans C définie par f(z) = ∑ a z est holomorphe, et pour tout z ∈ D, f’(z) = ∑ na z.En fait, cette fonction est indéfiniment dérivable sur D.
La fonction exponentielle est entière. Il en est de même des fonctions trigonométriques (qui peuvent être définies à partir de la fonction exponentielle au moyen des formules d'Euler) et des fonctions hyperboliques.
alt=Représentation de la fonction logarithme complexe par coloration de régions.|vignette|Représentation de la fonction logarithme complexe par coloration de régions.
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En mathématiques, le plan complexe (aussi appelé plan d'Argand, plan d'Argand-Cauchy ou plan d'Argand-Gauss) désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique. Le nombre complexe associé à un point est appelé l'affixe de ce point. Une affixe est constituée d'une partie réelle et d'une partie imaginaire correspondant respectivement à l'abscisse et l'ordonnée du point. On associe en général le plan complexe à un repère orthonormé direct.
vignette|Tracé du module de la fonction gamma (son prolongement analytique) dans le plan complexe. En mathématiques, et plus précisément en analyse, une fonction analytique est une fonction d'une variable réelle ou complexe qui est développable en série entière au voisinage de chacun des points de son domaine de définition, c'est-à-dire que pour tout de ce domaine, il existe une suite donnant une expression de la fonction, valable pour tout assez proche de , sous la forme d'une série convergente : Toute fonction analytique est dérivable de dérivée analytique, ce qui implique que toute fonction analytique est indéfiniment dérivable, mais la réciproque est fausse en analyse réelle.
thumb|upright=1.35|Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle θ peuvent être représentées géométriquement. En mathématiques, les fonctions trigonométriques permettent de relier les longueurs des côtés d'un triangle en fonction de la mesure des angles aux sommets. Plus généralement, ces fonctions sont importantes pour étudier les triangles et les polygones, les cercles (on les appelle alors fonctions circulaires) et modéliser des phénomènes périodiques.
En son coeur, c'est un cours d'analyse fonctionnelle pour les physiciens et traite les bases de théorie de mesure, des espaces des fonctions et opérateurs linéaires.
This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex
Recently, we have established and used the generalized Littlewood theorem concerning contour integrals of the logarithm of an analytical function to obtain a few new criteria equivalent to the Riemann hypothesis. Here, the same theorem is applied to calcul ...
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Recently, we have applied the generalized Littlewood theorem concerning contour integrals of the logarithm of the analytical function to find the sums over inverse powers of zeros for the incomplete gamma and Riemann zeta functions, polygamma functions, an ...
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We establish shape holomorphy results for general weakly- and hyper-singular boundary integral operators arising from second-order partial differential equations in unbounded two-dimensional domains with multiple finite-length open arcs. After recasting th ...