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Concept
Polynôme caractéristique
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, à toute matrice carrée à coefficients dans un anneau commutatif ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations sur la matrice ou sur l'endomorphisme, comme ses valeurs propres, son déterminant et sa trace. Le théorème de Cayley-Hamilton assure que toute matrice carrée annule son polynôme caractéristique.
Étant donné une matrice carrée M d'ordre n, on cherche un polynôme dont les racines sont précisément les valeurs propres de M.
Si M est une matrice diagonale ou plus généralement une matrice triangulaire, alors les valeurs propres de M sont les coefficients diagonaux λ1, ..., λn de M et nous pouvons définir le polynôme caractéristique comme étant
Ce polynôme est le déterminant det(XI-M) où I est la matrice identité.
Pour une matrice quelconque M, si λ est une valeur propre de M, alors il existe un vecteur colonne propre V non nul tel que MV = λV, soit (λIn – M)V = 0 (où I est la matrice unité.) Puisque V est non nul, cela implique que la matrice λIn – M est singulière, et donc a son déterminant nul. Cela montre que les valeurs propres de M sont des zéros de la fonction λ ↦ det(λIn – M) ou des racines du polynôme .
Soit M une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif. Le polynôme caractéristique de M, noté pM(X), est le polynôme défini par
où det est le déterminant des matrices, I désigne la matrice identité d'ordre n, ai j = le polynôme δi j X − mi j, coefficient d'indice (i, j) de la matrice XI – M ; la somme de droite (prise sur l'ensemble des permutations des indices) donne une expression explicite du polynôme caractéristique.
Remarque. Au lieu de l'expression (2), certains auteurs définissent le polynôme caractéristique comme étant . Avec cette définition, on a l'équation . Ceci n'est pas le cas pour la définition (2) lorsque l'ordre n est impair et , puisque l'on a : .
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