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Concept
Logarithmic differentiation
Résumé
In calculus, logarithmic differentiation or differentiation by taking logarithms is a method used to differentiate functions by employing the logarithmic derivative of a function f,
The technique is often performed in cases where it is easier to differentiate the logarithm of a function rather than the function itself. This usually occurs in cases where the function of interest is composed of a product of a number of parts, so that a logarithmic transformation will turn it into a sum of separate parts (which is much easier to differentiate). It can also be useful when applied to functions raised to the power of variables or functions. Logarithmic differentiation relies on the chain rule as well as properties of logarithms (in particular, the natural logarithm, or the logarithm to the base e) to transform products into sums and divisions into subtractions. The principle can be implemented, at least in part, in the differentiation of almost all differentiable functions, providing that these functions are non-zero.
The method is used because the properties of logarithms provide avenues to quickly simplify complicated functions to be differentiated. These properties can be manipulated after the taking of natural logarithms on both sides and before the preliminary differentiation. The most commonly used logarithm laws are
Using Faà di Bruno's formula, the n-th order logarithmic derivative is,
Using this, the first four derivatives are,
Product rule
A natural logarithm is applied to a product of two functions
to transform the product into a sum
Differentiating by applying the chain and the sum rules yields
and, after rearranging, yields
which is the product rule for derivatives.
Quotient rule
A natural logarithm is applied to a quotient of two functions
to transform the division into a subtraction
Differentiating by applying the chain and the sum rules yields
and, after rearranging, yields
which is the quotient rule for derivatives.
Source officielle
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Concepts associés (3)
Quotient rule
In calculus, the quotient rule is a method of finding the derivative of a function that is the ratio of two differentiable functions. Let , where both f and g are differentiable and The quotient rule states that the derivative of h(x) is It is provable in many ways by using other derivative rules. Given , let , then using the quotient rule: The quotient rule can be used to find the derivative of as follows: Reciprocal rule The reciprocal rule is a special case of the quotient rule in which the numerator .
Dérivée logarithmique
En mathématiques et plus particulièrement en analyse et en analyse complexe, la dérivée logarithmique d'une fonction f dérivable ne s'annulant pas est la fonction : où f est la dérivée de f. Lorsque la fonction f est à valeurs réelles strictement positives, la dérivée logarithmique coïncide avec la dérivée de la composée de f par la fonction logarithme ln, comme le montre la formule de la dérivée d'une composée de fonctions.
Règle du produit
En analyse mathématique, la règle du produit, aussi appelée règle de Leibniz, est une formule utilisée afin de trouver les dérivées de produits de fonctions. Sous sa forme la plus simple, elle s'énonce ainsi : En notation de Leibniz, cette formule s'écrit : Une application importante de la règle du produit est la méthode d'intégration par parties. Soit la fonction définie par : Pour trouver sa dérivée avec la règle du produit, on pose et . Les fonctions , et sont partout dérivables car polynomiales.