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Concept
Dérivée logarithmique
Résumé
En mathématiques et plus particulièrement en analyse et en analyse complexe, la dérivée logarithmique d'une fonction f dérivable ne s'annulant pas est la fonction :
où f est la dérivée de f.
Lorsque la fonction f est à valeurs réelles strictement positives, la dérivée logarithmique coïncide avec la dérivée de la composée de f par la fonction logarithme ln, comme le montre la formule de la dérivée d'une composée de fonctions.
Les relations qui suivent découlent de la définition (mais on peut également les obtenir en utilisant les propriétés du logarithme) : partant de la formule classique de Leibniz :
il vient
qui exprime que la « dérivée logarithmique d'un produit est égale à la somme des dérivées logarithmiques des facteurs ».
De même, partant de la formule de dérivée d'un quotient :
on obtient :
et partant de , on obtient
L'idée de la dérivée logarithmique est assez proche de celle de la méthode des facteurs intégrants, pour les équations différentielles du premier ordre. En termes d'opérateur, on écrit l'opérateur de différentiation
et soit M l'opérateur de multiplication par une fonction G donnée.
Alors
peut être écrit (d'après la règle de dérivation d'un produit) sous la forme
où D + M désigne l'opérateur de multiplication par la dérivée logarithmique de G, c'est-à-dire par
Souvent, on donne un opérateur tel que
et il faut résoudre l'équation
d'inconnue h, f étant donnée. Cela amène à résoudre
qui a pour solution
où est une primitive quelconque de f.
La définition peut être étendue à d'autres fonctions et par exemple si f est une fonction méromorphe, alors la définition a un sens en tous les nombres complexes qui ne sont ni des zéros de f, ni des pôles de f. De plus en un zéro ou un pôle, la dérivée logarithmique s'analyse à partir du cas particulier de où n est un entier non nul. Dans ce cas, la dérivée logarithmique est égale à .
Et on peut en déduire que de façon générale pour une fonction méromorphe f, toutes les singularités de la dérivée logarithmique de f sont des pôles simples, de résidu n d'un zéro d'ordre n, de résidu -n d'un pôle d'ordre n.
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