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Concept
Règle du produit
Résumé
En analyse mathématique, la règle du produit, aussi appelée règle de Leibniz, est une formule utilisée afin de trouver les dérivées de produits de fonctions. Sous sa forme la plus simple, elle s'énonce ainsi :
En notation de Leibniz, cette formule s'écrit :
Une application importante de la règle du produit est la méthode d'intégration par parties.
Soit la fonction définie par :
Pour trouver sa dérivée avec la règle du produit, on pose et . Les fonctions , et sont partout dérivables car polynomiales.
On trouve ainsi :
On peut le vérifier en développant d'abord l'expression de h : puis en dérivant cette somme terme à terme : on retrouve bien
Une preuve de la règle du produit peut être donnée en utilisant les propriétés des limites et la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement.
right|thumb|Figure 1. Illustration géométrique de la règle du produit.
Soient et deux fonctions dérivables en . Définissant et , l'aire du rectangle (cf. Figure 1) représente .
Si varie d'une quantité , les variations correspondantes en et sont désignées par et .
La variation de l'aire du rectangle est alors :
c'est-à-dire la somme des trois zones ombrées sur la Figure 1 ci-contre.
En divisant par :
En prenant la limite quand , on obtient :
Cette relation peut être démontrée par récurrence.
La règle du produit peut aussi être généralisée en la règle de Leibniz pour la dérivation d'ordre supérieur d'un produit de deux fonctions d'une variable réelle.
Cette formule se démontre par récurrence sur . La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton.
On peut aussi démontrer la formule de Leibniz en utilisant un développement de Taylor-Young.
La formule suivante généralise simultanément les deux précédentes :
où les entiers
sont les coefficients multinomiaux. La preuve peut se faire par récurrence sur m, le nombre de fonctions considérées, en utilisant la formule (qui se réduit à la formule de Leibniz) au rang m=2.
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