Noyau de Poisson

En théorie du potentiel, le noyau de Poisson est un opérateur intégral utilisé pour résoudre le problème de Dirichlet en dimension 2. Plus précisément, il donne des solutions à l'équation de Laplace en deux dimensions vérifiant les conditions aux limites de Dirichlet sur le disque unité. Cet opérateur peut se concevoir comme la dérivée de la fonction de Green solution de l'équation de Laplace. Le noyau de Poisson est important en analyse complexe car il est à l'origine de l'intégrale de Poisson qui donne une fonction harmonique définie sur le disque unité prolongement d'une fonction définie sur le cercle unité. Les noyaux de Poisson trouvent leurs applications en théorie de la régulation et dans les problèmes d'électrostatique en dimension 2. En pratique, la définition des noyaux de Poisson est souvent étendue aux problèmes de dimension n quelconque. Dans le plan complexe, le noyau de Poisson pour le disque unité est donné par peut être considéré de deux façons : comme une fonction de deux variables, r et θ, ou comme une famille de fonctions en θ, indexée par r. Si est le disque unité ouvert de C, et si f est une fonction continue sur le cercle unité à valeurs dans R, alors, la fonction u définie par ou de manière équivalente par est harmonique sur , et peut se prolonger en une fonction continue sur le disque fermé qui coïncide avec f sur la frontière du disque. Habituellement, on se restreint à des fonctions qui sont soit de carré intégrable, soit de puissance p-ième intégrable sur le cercle unité. Quand on impose aux prolongements harmoniques d'être holomorphes, les solutions f sont des éléments de l'espace de Hardy. En particulier, le noyau de Poisson est souvent utilisé pour démontrer l'isomorphisme des espaces de Hardy sur le disque unité et sur le cercle unité. Dans l'étude des séries de Fourier, les noyaux de Poisson font leur apparition dans l'étude des moyennes d'Abel pour les séries de Fourier en donnant un exemple de noyau de sommabilité.