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Concept
Harmonique sphérique
Résumé
En mathématiques, les harmoniques sphériques sont des fonctions harmoniques particulières, c'est-à-dire des fonctions dont le laplacien est nul. Les harmoniques sphériques sont particulièrement utiles pour résoudre des problèmes invariants par rotation, car elles sont les vecteurs propres de certains opérateurs liés aux rotations.
Les polynômes harmoniques P(x,y,z) de degré l forment un espace vectoriel de dimension 2 l + 1, et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques (r, θ, φ) comme des combinaisons linéaires des (2 l + 1) fonctions :
avec .
Les coordonnées sphériques (r,θ,φ) sont, respectivement, la distance au centre de la sphère, la colatitude et la longitude.
Tout polynôme homogène est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère unité S.
C'est pourquoi la partie radiale de l'équation de Laplace, différente selon le problème étudié n'apparaît pas ici.
Les harmoniques sphériques sont utilisées en physique mathématique, dès qu'intervient la notion d'orientation (anisotropie) et donc de rotation (groupe de symétrie orthogonal SO(3)) et que le laplacien entre en jeu :
en acoustique (reconstitution de l'effet d'espace par plusieurs haut-parleurs) ;
en théorie du potentiel newtonien (électrostatique, mécanique, gravimétrie) ;
en géophysique (représentation du globe terrestre, météorologie) ;
en cristallographie pour la texture ;
en physique quantique (développement d'une fonction d'onde, densité du nuage électronique, description des orbitales atomiques de l'atome d'hydrogène) ;
en cosmologie (représentation du ciel, en particulier pour l'analyse du fond diffus cosmologique)
Elles sont également utilisées pour des problématiques de rendu 3D, notamment en réalité augmentée afin d'encoder des données d'éclairage ambiant.
On cherche les fonctions Y(θ,φ) sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable :
où k est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation.
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