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Concept
Couple (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, un couple de deux objets est la donnée de ces deux objets dans un ordre déterminé. Le couple des deux objets et est noté . Si et sont distincts, le couple est distinct du couple ; en cela, la notion de couple se distingue de la notion de paire où l'ordre des éléments est indifférent. Pour désigner un couple, les anglophones emploient d'ailleurs ordered pair, c’est-à-dire paire ordonnée.
Les objets a et b sont appelés respectivement première composante et deuxième composante du couple (a, b).
D'abord introduite comme une notion primitive, l'essence de la notion de couple réside dans la propriété caractéristique suivante :
Cette propriété est à comparer avec l'égalité des paires, pour lesquelles b1 et b2 peuvent être permutés par rapport à a1 et a2, ce qui n'est pas le cas pour les couples.
Ceci est confirmé par le corollaire suivant :
Les composantes d'un couple ne peuvent être échangées entre elles sans modifier le couple, sauf si elles sont identiques.
ce que l'on peut exprimer plus formellement par :
(a, b) = (b, a) si et seulement si a = b.
Par conséquent :
pour un couple (a, b) : b ≠ a ⇒ (b, a) ≠ (a, b) ;
pour une paire { a, b } : { b, a } = { a, b }.
L'ordre des composantes dans un couple a ainsi de l'importance, d'où la définition :
Si a est différent de b, le couple (b, a) est appelé couple symétrique ou encore couple réciproque du couple (a, b).
L'ensemble de tous les couples dont la première composante appartient à un ensemble quelconque X et la seconde à un ensemble quelconque Y est appelé produit cartésien de ces deux ensembles et se note X×Y. Les sous-ensembles de X×Y sont des graphes.
Étant donné un ensemble de couples C, l'ensemble des premières composantes des couples de C est appelé première projection de C, ou projection sur la première coordonnée :
A = {x | ∃ y (x, y) ∈ C} ;
l'ensemble B des secondes composantes des couples de C est appelé seconde projection de C, ou projection sur la seconde coordonnée :
B = {y | ∃ x (x, y) ∈ C}.
(1 , 4) et (4 , 4) sont des couples d'entiers.
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