Corps ordonné

En algèbre générale, un corps ordonné est la donnée d'un corps commutatif (K, +, ×), muni d'une relation d'ordre (notée ≤ dans l'article) compatible avec la structure de corps. Dans tout l'article, on note naturellement ≥ la relation d'ordre réciproque de ≤, et l'on note < et > les relations d'ordre strict respectivement associées à ≤ et ≥. On note par ailleurs 0 l'élément neutre de l'addition et 1 celui de la multiplication. On note le plus souvent xy le produit de deux éléments x et y de K. Enfin, on note x–1 l'inverse d'un élément x non nul de K. La majeure partie des résultats énoncés (ceux ne faisant pas intervenir la notion d'inverse) peut s'étendre aux anneaux commutatifs. Plus précisément, avec les notations précédentes, on dit que la relation d'ordre ≤ est compatible avec la structure de corps de K si les deux conditions suivantes sont réunies. Le groupe additif (K,+) est un groupe ordonné par la relation d'ordre ≤ (c'est-à-dire que celle-ci est compatible avec l'addition). On a, pour tous éléments x et y du corps tels que x ≥ 0 et y ≥ 0, l'inégalité xy ≥ 0 (la relation d'ordre est compatible avec la multiplication). Par commodité, on dira par la suite qu'un élément x de K est positif si l'on a x ≥ 0, et qu'il est négatif si l'on a x ≤ 0 (on remarquera que, par antisymétrie de la relation d'ordre ≤, 0 est l'unique élément du corps à la fois positif et négatif). Les corps Q des rationnels et R des réels, munis de la relation d'ordre habituelle, sont des corps ordonnés. On dispose d'abord des propriétés liées à la compatibilité de l'addition avec la relation d'ordre (voir l'article groupe ordonné pour leur démonstration, avec d'autres notations). Addition membre à membre d'inégalités :retrait|si x ≤ y et x' ≤ y' alors x + x' ≤ y + y. Passage à l'opposé dans une inégalité en changeant le sens : On dispose par ailleurs de propriétés liées à la compatibilité de la multiplication avec la relation d'ordre. Règle des signes : si x ≤ 0 et y ≤ 0 alors xy ≥ 0 ; si x ≤ 0 et y ≥ 0 alors xy ≤ 0 ; si x ≥ 0 et y ≤ 0 alors xy ≤ 0.