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Concept
Nombre hyperréel
Résumé
vignette|Représentation des infinitésimaux (ε) et infinis (ω) sur la droite des nombres hyperréels (1/ε = ω)|520x520px
En mathématiques, le corps ordonné des nombres hyperréels constitue une extension, notée *R, des nombres réels usuels, permettant de donner un sens rigoureux aux notions de quantité infiniment petite ou infiniment grande. On peut éviter alors l'emploi des passages à la limite et des expressions conditionnées par une valeur ε « aussi petite que l’on veut ». Il n'y a pas unicité de l'ensemble *R, mais le choix d'une extension en particulier n'a que peu d'incidence en pratique.
Tout comme on peut construire l'ensemble des nombres réels à partir de suites de nombres rationnels, on peut construire un modèle des nombres hyperréels à partir de suites de nombres réels. Techniquement, on utilise une ultrapuissance pour construire cette extension. D'une manière équivalente, on peut définir les nombres hyperréels par le biais d'un modèle non standard des nombres réels.
Les « infiniment petits » de l'analyse du , qui furent exploités systématiquement par Leibniz, Jean Bernoulli, Euler, et bien d'autres, avaient suscité de violentes critiques, assez semblables à celles provoquées par l'introduction de « nombres imaginaires » de carré négatif. Mais contrairement à ces derniers, les problèmes techniques correspondants (tels que la négation de l'axiome d'Archimède) ne purent être résolus, ce qui amena la disparition progressive des infinitésimaux et leur remplacement, dû à Bolzano, Cauchy et Weierstrass, par les notions modernes de limite, de continuité, etc.
Cependant, on pouvait encore envisager d'adjoindre aux réels de nouveaux objets permettant de rendre rigoureux les raisonnements utilisant les infiniment petits, et diverses tentatives furent faites dans ce sens (par exemple par Hadamard et du Bois-Reymond), mais cela sans grand succès, pour des raisons que seule la logique mathématique devait rendre claires.
Dès 1930, les travaux de Skolem montrèrent cependant qu'une extension des réels autorisant un véritable calcul infinitésimal était possible.
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