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Concept
Théorème de Wilson
Résumé
En mathématiques, plus précisément en arithmétique élémentaire, le théorème de Wilson énonce qu'un entier p plus grand que 1 est premier si et seulement si la factorielle de p – 1 est congrue à –1 modulo p. Cette caractérisation des nombres premiers est assez anecdotique et ne constitue pas un test de primalité efficace. Son principal intérêt réside dans son histoire et dans la relative simplicité de son énoncé et de ses démonstrations.
Ici, le symbole « ! » désigne la fonction factorielle et le symbole « . ≡ . (mod .) » désigne la congruence sur les entiers.
Si p est égal à 2, alors (p – 1)! + 1 est égal à 2, un multiple de 2.
Si p est égal à 3, alors (p – 1)! + 1 est égal à 3, un multiple de 3.
Si p est égal à 4, alors (p – 1)! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4.
Si p est égal à 5, alors (p – 1)! + 1 est égal à 25, un multiple de 5.
Si p est égal à 6, alors (p – 1)! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6.
Si p est égal à 17, alors (p – 1)! + 1 est égal à , un multiple de 17 car .
Le premier texte actuellement connu à faire référence à ce résultat est dû au mathématicien arabe Alhazen (965-1039). Ce théorème est connu à partir du en Europe. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fait référence à ce résultat sans le démontrer. John Wilson redécouvre ce qu'il croit être une conjecture et en partage la découverte avec son professeur Edward Waring, qui publie cette conjecture en 1770.
Joseph-Louis Lagrange en présente deux premières démonstrations en 1771, puis Leonhard Euler une troisième en 1773. Utilisant les notations de l'arithmétique modulaire, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) reformule la démonstration d'Euler et en donne une quatrième.
Tout d'abord, si p est un nombre composé, il possède un diviseur d tel que 1 < d < p ; alors, (p – 1)! est divisible par d donc (p – 1)! + 1 ne l'est pas et a fortiori, (p – 1)! + 1 ≢ 0 (mod p). En fait, on peut montrer que si p (composé) est différent de 4 alors (p – 1)! est même divisible par p.
Source officielle
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