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Concept
Petit théorème de Fermat
Résumé
En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de l'arithmétique modulaire, qui peut aussi se démontrer avec les outils de l'arithmétique élémentaire.
Il s'énonce comme suit : « si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors ap–1 – 1 est un multiple de p », autrement dit (sous les mêmes conditions sur a et p), ap–1 est congru à 1 modulo p :
Un énoncé équivalent est : « si p est un nombre premier et si a est un entier quelconque, alors ap – a est un multiple de p » :
Il doit son nom à Pierre de Fermat, qui l'énonce pour la première fois en .
Il dispose de nombreuses applications, à la fois en arithmétique modulaire et en cryptographie.
La première apparition connue de l'énoncé de ce théorème provient d'une lettre de Fermat à Frénicle de Bessy datée d', qui a été publiée par son fils Samuel en 1679 dans les Varia Opera. On peut y lire ceci : , soit en termes modernes, pour tout nombre premier p et tout nombre a (premier avec p), il existe un entier t tel que p divise a – 1, et, t étant le plus petit entier vérifiant ceci, t divise p – 1 et tous les multiples n de t vérifient que p divise a – 1.
On en déduit immédiatement l'énoncé donné en introduction, et réciproquement on déduit de celui-ci l'énoncé plus précis que donne Fermat. Comme habituellement dans sa correspondance, il ne donne aucune démonstration de ce résultat, ni même, comme il le fait parfois, d'indications à propos de celle-ci, mais précise :
À cette époque, il est d'usage de ne pas publier les preuves des théorèmes. Ainsi Leibniz rédige une démonstration vers 1683 mais ne la publie pas. En 1741, 1750 et 1761, Euler en publie deux qui procèdent par récurrence et utilisent le développement du binôme, et une qui étudie la répartition des restes modulo le nombre premier considéré. On trouve cette dernière en 1801 dans les Disquisitiones arithmeticae de Gauss. Il y résume également la première démonstration d'Euler, et en donne une version plus rapide utilisant le développement du multinôme.
Source officielle
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