Postulat de Bertrand

En mathématiques, le postulat de Bertrand affirme qu'entre un entier et son double, il existe toujours au moins un nombre premier. Plus précisément, l'énoncé usuel est le suivant : Le postulat de Bertrand est aussi connu sous le nom de théorème de Tchebychev, depuis que Pafnouti Tchebychev l’a démontré en 1850. L'énoncé usuel du postulat de Bertrand :

Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que . est équivalent aux quatre suivants :
Pour tout entier , il existe un nombre premier tel que .
Pour tout entier , , où est la fonction de compte des nombres premiers.
Pour tout indice , , où est la suite des nombres premiers.
Pour tout indice , , où est l’écart entre un nombre premier et le suivant. ainsi qu'aux variantes obtenues en remplaçant, dans les énoncés 1 à 3, « pour tout entier » par « pour tout réel ». Celui formulé par Joseph Bertrand et démontré par Pafnouti Tchebychev, était légèrement plus fort : Le « postulat » (un terme tel qu’hypothèse ou conjecture, moins généraux, serait plus approprié) est énoncé pour la première fois en 1845 par Joseph Bertrand dans une étude sur des groupes de permutations, après qu’il a vérifié sa validité pour tous les nombres inférieurs à 6 millions. C’est Pafnouti Tchebychev qui obtient, en 1850, la première démonstration : il utilise notamment un encadrement de la factorielle par des fonctions dérivées de la formule de Stirling ainsi que la fonction , où parcourt les nombres premiers inférieurs ou égaux à . Depuis lors, le postulat s'appelle aussi « théorème de Tchebychev » ou, plus rarement, « théorème de Bertrand-Tchebychev ». Edmund Landau, en 1909, dans son ouvrage de synthèse des connaissances de l’époque sur la répartition des nombres premiers, reprend pour l’essentiel la démonstration de Tchebychev. En 1919, Srinivasa Ramanujan donne du postulat de Bertrand une démonstration plus simple. En 1932, Paul Erdős, à l’occasion de sa première publication, à l’âge de 19 ans, publie une démonstration entièrement élémentaire dans laquelle il utilise les coefficients binomiaux (il démontrera aussi que pour n>5, il existe au moins deux nombres premiers compris entre n et 2n).

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vignette|La fonction de Tchebychev ψ(x) pour x < 50 En mathématiques, la fonction de Tchebychev peut désigner deux fonctions utilisées en théorie des nombres. La première fonction de Tchebychev θ(x) ou θ(x) est donnée par où la somme est définie sur les nombres premiers p inférieurs ou égaux à x. La seconde fonction de Tchebychev ψ(x) est définie de façon similaire, la somme s'étendant aux puissances premières inférieures à x : où Λ désigne la fonction de von Mangoldt.

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