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Concept
Fonction de compte des nombres premiers
Résumé
En mathématiques, la fonction de compte des nombres premiers est la fonction comptant le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel x. Elle est notée π(x) (à ne pas confondre avec la constante π).
L’image ci-contre illustre la fonction π(n) pour les valeurs entières de la variable. Elle met en évidence les augmentations de 1 que la fonction subit à chaque fois que x est égal à un nombre premier.
Soit l'ensemble des nombres premiers et un nombre réel. Alors la fonction de comptant des nombres premiers inférieurs ou égaux à est définie comme
Depuis Euclide, il est connu qu'il existe des nombres premiers en quantité infinie. Pour affiner la connaissance de ces nombres, la théorie des nombres s'est attelée à en déterminer le taux de croissance. À la fin du , Gauss et Legendre ont conjecturé que cette quantité était « proche de » x/ln(x), où ln est la fonction logarithme népérien.
Plus précisément,
Cette affirmation constitue le théorème des nombres premiers, prouvé indépendamment par Hadamard et La Vallée Poussin, en 1896, grâce à la fonction zêta de Riemann. Une assertion équivalente est :
où la fonction logarithme intégral est en fait une approximation plus précise.
Des preuves du théorème des nombres premiers n'utilisant pas l'analyse complexe furent proposées en 1948 par Atle Selberg et Paul Erdős.
Une façon simple de calculer π(x), si x est un nombre petit, est d'utiliser le crible d'Ératosthène de manière à trouver tous les premiers inférieurs à x et ensuite de les compter.
Une manière plus élaborée pour trouver π(x) a été inventée par Legendre : étant donné un entier x, si p, p,...,p sont des nombres premiers distincts, alors le nombre d'entiers inférieurs ou égaux à x qui ne sont divisibles par aucun p est
où désigne la fonction partie entière (cette formule est une application du principe d’inclusion-exclusion).
Ce nombre est donc égal à :
où les nombres p, p,...,p sont les nombres premiers inférieurs ou égaux à la racine carrée de x.
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