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Concept
Théorème d'Euclide sur les nombres premiers
Résumé
En arithmétique, le théorème d'Euclide sur les nombres premiers affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers.
Ce résultat est énoncé et démontré dans les Éléments d'Euclide, c'est la proposition 20 du livre IX. Il y prend cependant une forme différente : « les nombres premiers sont plus nombreux que n'importe quelle multitude de nombres premiers proposée », plus compatible avec la conception de l'infini de l'auteur.
D'autres preuves ont ensuite été proposées, notamment par Euler. Des résultats plus fins ont aussi été démontrés comme le théorème des nombres premiers sur la distribution asymptotique des nombres premiers.
Dans ses Éléments, Euclide démontre que de trois nombres premiers distincts peut se déduire un quatrième. La démonstration se généralise immédiatement à toute énumération finie de nombres premiers. Il déduit que les nombres premiers sont en nombre plus important que toute quantité finie. L'infini mis en évidence par cette preuve est donc un « infini potentiel », compatible avec la doctrine aristotélicienne.
Actualisée, sa démonstration se présente comme suit : soit une liste finie de nombres premiers distincts. Si N désigne leur produit, les nombres premiers déjà énumérés ne peuvent pas diviser S = N + 1 ; or un tel nombre entier S > 1 possède un diviseur premier, qui ne fait donc pas partie de la suite donnée. Euclide énonce à la proposition 31 du livre VII des Éléments que tout nombre entier S > 1 possède un diviseur premier et le démontre par descente infinie. On peut aussi le démontrer ainsi : q le plus petit diviseur strictement supérieur à 1 de l'entier S est nécessairement premier, car tout diviseur de q est un diviseur de S, donc est égal à 1 ou q.
L'argumentation utilisée par Euclide permet de construire par récurrence une suite injective de nombres premiers : est défini comme le plus petit facteur premier de . Cette démonstration directe n'est donc pas une démonstration par l'absurde, contrairement à ce qui a été souvent affirmé.
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