Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Fonction de Tchebychev
Résumé
vignette|La fonction de Tchebychev ψ(x) pour x < 50
En mathématiques, la fonction de Tchebychev peut désigner deux fonctions utilisées en théorie des nombres. La première fonction de Tchebychev θ(x) ou θ(x) est donnée par
où la somme est définie sur les nombres premiers p inférieurs ou égaux à x.
La seconde fonction de Tchebychev ψ(x) est définie de façon similaire, la somme s'étendant aux puissances premières inférieures à x :
où Λ désigne la fonction de von Mangoldt. Les fonctions de Tchebychev, notamment la seconde ψ(x), sont souvent utilisées dans des résultats sur les nombres premiers, car elles sont plus simples à utiliser que la fonction de compte des nombres premiers, π(x) (voir la formule exacte, plus bas). Les deux fonctions de Tchebychev sont asymptotiquement équivalentes à x, un résultat similaire au théorème des nombres premiers.
Les deux fonctions sont nommées d'après Pafnouti Tchebychev.
La seconde fonction de Tchebychev peut être liée à la première comme suit :
où k est l'unique entier tel que pk ≤ x et x < pk + 1. Les valeurs de k sont données dans la suite . Une relation plus directe est donnée par
On remarque que la dernière somme a seulement un nombre fini de termes non-nuls :
La seconde fonction de Tchebychev est le logarithme du plus petit commun multiple des entiers de 1 à n.
Les valeurs de ppcm(1,2,...,n) pour un entier n sont données par .
On connait les bornes suivantes pour les fonctions de Tchebychev (dans ces formules pk est le k-ème nombre premier : p1 = 2, p2 = 3, etc.)
De plus, sous l'hypothèse de Riemann,
pour tout ε > 0.
Des bornes supérieures existent pour θ(x) et ψ(x) telles que
pour tout x > 0.
Une explication de la constante 1,03883 est donnée par .
En 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt a prouvé une expression explicite pour ψ(x) comme une somme sur les zéros non triviaux de la fonction zeta de Riemann :
(La valeur numérique de ζ′(0)/ζ(0) est ln(2π).
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.