Pythagore (en grec ancien : ) est un réformateur religieux et philosophe présocratique qui serait né aux environs de 580 av. J.-C. à Samos, une île du sud-est de la mer Égée ; on établit sa mort vers 495 av. J.-C., à l'âge de 85 ans. Il aurait été également mathématicien et scientifique selon une tradition tardive. Le nom de Pythagore (étymologiquement, Pyth-agoras : « celui qui a été annoncé par la Pythie »), découle de l'annonce de sa naissance faite à son père lors d'un voyage à Delphes.
La vie énigmatique de Pythagore permet difficilement d'éclaircir l'histoire de ce réformateur religieux, mathématicien, philosophe et thaumaturge. Il n’a jamais rien écrit, et les soixante et onze lignes des Vers d’Or qu'on lui attribue sont apocryphes et sont le signe de l'immense développement de la légende formée autour de son nom.
Le néopythagorisme est néanmoins empreint d'une mystique des nombres, déjà présente dans la pensée de Pythagore. Hérodote le mentionne comme . Il conserve un grand prestige ; Hegel disait qu'il était .
D'après un écho marquant d’Héraclide du Pont évoqué par Cicéron, Pythagore serait le premier penseur grec à s’être qualifié lui-même de φιλόσοφος (philosophos), dont le sens est « ami du savoir ou de la sagesse » :
Aucun écrit authentique de Pythagore n'a survécu et on ne sait presque rien de certain sur sa vie. Les premières sources sont brèves, ambiguës et souvent satiriques. La plus ancienne sur les enseignements de Pythagore est un poème satirique probablement écrit après sa mort par Xénophane, qui est l'un de ses contemporains. Dans le poème, Pythagore aide un chien qui est battu en professant reconnaître dans ses cris la voix d'un ami disparu. Alcméon de Crotone, un médecin qui vivait à Crotone à peu près à la même époque que Pythagore, incorpore de nombreux enseignements pythagoriciens dans ses écrits et fait allusion au fait qu'il a peut-être connu Pythagore personnellement. Le philosophe Héraclite d'Éphèse, qui naît à quelques kilomètres de Samos et qui est peut-être en vie au même moment que Pythagore, le traite de charlatan intelligent en remarquant que .
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L’école pythagoricienne fondée par Pythagore (580-495 av. J.-C.) en Grande-Grèce constitue une confrérie à la fois scientifique et religieuse : le pythagorisme repose en effet sur une initiation et propose à ses adeptes un mode de vie éthique et alimentaire, ainsi que des recherches scientifiques sur le cosmos. Bien que le terme d'école philosophique soit contesté et qu'on préfère généralement parler de secte pour le pythagorisme, cette association religieuse, politique et philosophique dura neuf ou dix générations, et a joui d'une très grande notoriété aussi bien dans l'antiquité grecque que romaine.
Empédocle (en ) est un philosophe, poète, ingénieur et médecin grec de Sicile, du Il fait partie des philosophes présocratiques, ces premiers penseurs qui ont tenté de découvrir l'arkhè du cosmos, son « schéma ». L'originalité d'Empédocle est de poser deux principes qui règnent cycliquement sur l'univers, l'Amour et la Haine. Ces principes engendrent les quatre éléments dont sont composées toutes les choses matérielles : l'eau, la terre, le feu et l'éther (ou l'air).
Anaximandre de Milet en Ἀναξίμανδρος / Anaxímandros) (vers 610 av. J.-C. – vers 546) est un philosophe et savant grec présocratique. On suppose qu'il succéda à Thalès comme maître de l'école milésienne, et il aurait eu Xénophane, Pythagore et Anaximène parmi ses élèves. Anaximandre est le premier Grec connu à avoir tenté de décrire et expliquer l'origine et l'organisation de tous les aspects du monde d'un point de vue que l'on qualifie rétrospectivement de scientifique.
We show that the transcendence degree of a real function field over an arbitrary real base field is a strict lower bound for its Pythagoras number and a weak lower bound for all its higher Pythagoras numbers. ...