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Concept
Préordre
Résumé
En mathématiques, un préordre est une relation binaire réflexive et transitive.
C'est-à-dire que si E est un ensemble, une relation binaire sur E est un préordre lorsque :
(réflexivité) ;
(transitivité).
Un ensemble préordonné est un ensemble muni d'un préordre, ou plus formellement un couple où désigne un ensemble et un préordre sur .
Les ordres sont les préordres antisymétriques.
Les relations d'équivalence sont les préordres symétriques.
Dans un anneau commutatif, la relation « divise » est une relation de préordre. En général, ce n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas antisymétrique (par exemple dans l'ensemble des entiers relatifs, 1 divise –1 et –1 divise 1 alors que 1 et –1 sont différents).
Sur les sommets d'un graphe orienté, la relation « être accessible depuis » est un préordre (c'est en fait la fermeture réflexive et transitive du graphe). Si le graphe est sans cycle, cette relation devient un ordre.
Entre normes sur un même espace vectoriel réel, la relation « est plus fine que » est un préordre.
Entre fonctions réelles d'une variable réelle, la domination est un préordre.
Sur l'ensemble des disques du plan, la relation « a une aire au plus égale à celle de » est un préordre. Ce n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas antisymétrique (deux disques différents peuvent avoir même aire). Cette même relation, sur l'ensemble des disques fermés (ou celui des disques ouverts) de centre fixé, est une relation d'ordre.
Si (E, R) et (F, S) sont deux ensembles préordonnés, une application f de E dans F est dite croissante si xRy ⇒ f(x)Sf(y).
Si E est un ensemble, (F, S) un ensemble préordonné et f une application de E dans F, la relation R définie par xRy ⇔ f(x)Sf(y) est un préordre sur E (cf. dernier exemple ci-dessus, où f, qui à tout cercle associe son aire, est à valeurs dans un ensemble ordonné : les réels — ou les réels positifs).
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