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Concept
Famille (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou suite indexée par tous les entiers naturels. Ainsi on pourra parler, en algèbre linéaire, de la famille de vecteurs qui est une famille finie, ou de la famille dénombrable (un)n ∈ N.
Une famille est toujours indexée, même si elle l'est parfois implicitement, par exemple dans les locutions « famille libre » ou « famille génératrice ».
Une famille (x) d'éléments x d'un ensemble E, indexée par un ensemble I, lindex, est une application définie sur I à valeurs dans E. Il s'agit donc d'une terminologie et d'une notation, mieux adaptées à certains usages, pour la notion connue d'application (ou de fonction). Les éléments de I sont appelés indices. L'élément d'indice i de la famille (x) est x.
Quand on parle d’élément d'une famille, il s'agit d'un élément de l'ensemble image de la famille en tant qu'application : un élément de la famille (x) est l'un des x.
Quand on parle de la cardinalité d'une famille, il s'agit a priori de la cardinalité de l'ensemble de ses indices (ou de façon équivalente de la cardinalité du graphe de la famille en tant qu'application). Cela dit, on peut toujours préciser : famille sur un ensemble d'indices de cardinalité telle. Ainsi une famille finie est une famille dont l'ensemble des indices est fini, une famille infinie est une famille dont l'ensemble des indices est infini, une famille dénombrable est une famille dont l'ensemble des indices est dénombrable, une famille vide est une famille indexée par l'ensemble vide Lorsqu'une famille est finie, l'ensemble de ses éléments est fini, mais la réciproque est fausse.
Quand on parle de suite, il s'agit d'une famille dont l'ensemble des indices est l'ensemble des entiers ou un sous-ensemble de celui-ci, fini ou infini (les n premiers entiers, les entiers non nuls...). Plus généralement, on pourra parler, en théorie des ensembles, de suite pour une famille dont l'ensemble des indices est un ordinal, ou même un ensemble « explicitement » bien ordonné.
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