Composé polyédrique

Un composé polyédrique est un polyèdre qui est lui-même composé de plusieurs autres polyèdres partageant un centre commun, l'analogue tridimensionnel des tels que l'hexagramme. Les sommets voisins d'un composé peuvent être connectés pour former un polyèdre convexe appelé l'enveloppe convexe. Le composé est un facettage de l'enveloppe convexe. Un autre polyèdre convexe est formé par le petit espace central commun à tous les membres du composé. Ce polyèdre peut être considéré comme le noyau pour un ensemble de stellations incluant ce composé. (Voir la pour ces composés et plus de stellations.) Le dual d'un composé de polyèdres est le composé des duaux de ces polyèdres. Un composé polyédrique régulier peut être défini comme un composé qui, comme un polyèdre régulier, est isogonal, isotoxal, et isoédrique. Avec cette définition, il existe 5 composés réguliers. Le plus connu est le composé de deux tétraèdres, souvent appelé l'octangle étoilé, un nom donné par Kepler. Les sommets des deux tétraèdres définissent un cube, et l'intersection des deux : un octaèdre, qui partage les mêmes plans de faces que le composé. Ainsi, c'est une stellation de l'octaèdre. L'octangle étoilé peut aussi être regardé comme un composé dual-régulier. Le se décline en 2 versions énantiomorphes, qui ensemble forment le composé de 10 tétraèdres. Chaque composé tétraédrique est autodual ou dual de son jumeau chiral, et le composé de 5 cubes est le dual du composé de 5 octaèdres. Remarque : il y a 2 positions pour placer les sommets du tétraèdre régulier sur des sommets du cube, 5 positions pour placer les sommets du cube sur des sommets du dodécaèdre régulier, 10 positions pour placer les sommets du tétraèdre régulier sur des sommets du dodécaèdre régulier, et 5 positions pour placer les sommets de l'icosaèdre régulier sur les arêtes de l'octaèdre régulier. Un composé dual-régulier est composé d'un polyèdre régulier (un des solides de Platon ou des solides de Kepler-Poinsot) et de son dual régulier, arrangés réciproquement sur une sphère intermédiaire commune, telle que l'arête d'un polyèdre coupe l'arête duale du polyèdre dual.