Faisceau (mathématiques)En mathématiques, un faisceau est un outil permettant de suivre systématiquement des données définies localement et rattachées aux ouverts d'un espace topologique. Les données peuvent être restreintes à des ouverts plus petits, et les données correspondantes à un ouvert sont équivalentes à l'ensemble des données compatibles correspondantes aux ouverts plus petits couvrant l'ouvert d'origine. Par exemple, de telles données peuvent consister en des anneaux de fonctions réelles continues ou lisses définies sur chaque ouvert.
Cohomologie des faisceauxLes groupes de cohomologie d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines. Les groupes de cohomologie d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines : où est une résolution injective du faisceau , et désigne le groupe abélien des sections globales de . A unique isomorphisme canonique près, ces groupes ne dépendent pas de la résolution injective choisie. Le zéroième groupe est canoniquement isomorphe à .
Suite spectraleEn algèbre homologique et en topologie algébrique, une suite spectrale est une suite de modules différentiels (En,dn) tels que En+1 = H(En) = Ker dn / dn est l'homologie de En. Elles permettent donc de calculer des groupes d'homologie par approximations successives. Elles ont été introduites par Jean Leray en 1946. Il y a plusieurs manières en pratique pour obtenir une telle suite. Historiquement, depuis 1950, les arguments des suites spectrales ont été un outil performant pour la recherche, notamment dans la théorie de l'homotopie.
Serre spectral sequenceIn mathematics, the Serre spectral sequence (sometimes Leray–Serre spectral sequence to acknowledge earlier work of Jean Leray in the Leray spectral sequence) is an important tool in algebraic topology. It expresses, in the language of homological algebra, the singular (co)homology of the total space X of a (Serre) fibration in terms of the (co)homology of the base space B and the fiber F. The result is due to Jean-Pierre Serre in his doctoral dissertation. Let be a Serre fibration of topological spaces, and let F be the (path-connected) fiber.
Leray spectral sequenceIn mathematics, the Leray spectral sequence was a pioneering example in homological algebra, introduced in 1946 by Jean Leray. It is usually seen nowadays as a special case of the Grothendieck spectral sequence. Let be a continuous map of topological spaces, which in particular gives a functor from sheaves of abelian groups on to sheaves of abelian groups on .
