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Concept
Suite spectrale
Résumé
En algèbre homologique et en topologie algébrique, une suite spectrale est une suite de modules différentiels (En,dn) tels que
En+1 = H(En) = Ker dn / dn
est l'homologie de En. Elles permettent donc de calculer des groupes d'homologie par approximations successives. Elles ont été introduites par Jean Leray en 1946.
Il y a plusieurs manières en pratique pour obtenir une telle suite. Historiquement, depuis 1950, les arguments des suites spectrales ont été un outil performant pour la recherche, notamment dans la théorie de l'homotopie. Par exemple, la permet d'obtenir des informations sur les groupes d'homotopie des sphères.
Une manière de visualiser ce qui se produit dans une suite spectrale est l'utilisation de la métaphore du bloc-note. E1 étant la première feuille de données, la feuille E2 en dérive par un processus défini ; et ainsi de suite pour les feuilles E3, E4... Le résultat final du calcul serait la dernière feuille du bloc-notes.
En pratique Ei contient certaines données de gradation, souvent même deux. Chaque feuille est ensuite transformée en tableau, agencé en lignes et colonne, avec un groupe abélien dans chaque cellule. Chaque feuille possède aussi des « différentielles », qui agissent depuis chaque cellule de la feuille sur une autre cellule. Le processus défini est alors un moyen de calculer l'état de chaque cellule sur la feuille suivante à partir de la feuille courante, en suivant les différentielles.
Pour être rigoureux, l'élément En devrait indiquer deux indices :
Enp,q
avec les différentielles dnp,q agissant depuis Enp,q sur un Enp+a,q+b, avec a et b ne dépendant que de n.
Des suites spectrales apparaissent souvent lors des calculs de filtration d'un module E0. Une filtration
d'un module induit une suite exacte courte
avec B, le quotient j de A par son image sous l'inclusion i, et dont la différentielle est induite par celle de A. Soit A1 = H(A) et B1 = H(B) ; une suite exacte longue,
est donnée par le lemme du serpent.
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