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Concept
Topologie algébrique
Résumé
La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est la branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus exactement, elle cherche à associer de manière naturelle des invariants algébriques aux structures topologiques associées. La naturalité signifie que ces invariants vérifient des propriétés de fonctorialité au sens de la théorie des catégories.
L'idée fondamentale est de pouvoir associer à tout espace topologique des objets algébriques (nombre, groupe, espace vectoriel, etc.), de sorte qu'à deux espaces homéomorphes soient associées deux structures isomorphes, et plus généralement qu’à une application continue entre deux espaces soit associé un morphisme entre deux structures algébriques. De tels objets sont appelés des invariants algébriques. En utilisant la terminologie de la théorie des catégories, il s'agit d'étudier des foncteurs depuis la catégorie des espaces topologiques sur une catégorie algébrique, comme les catégories de groupes, algèbres, groupoïdes, etc. Des résultats de topologie passent alors par la démonstration plus abordable de propriétés algébriques.
Parmi les invariants notables, citons :
Le groupe fondamental d'un espace topologique X en un point x : l'ensemble des classes d'homotopie des lacets de X de base x, la loi de composition interne étant la concaténation des lacets ;
Les groupes d'homotopie supérieure d'un espace topologique X en un point x ;
Les groupes d'homologie ou de cohomologie d'un espace topologique X ;
Les classes caractéristiques d'un fibré vectoriel réel, complexe, euclidien ou hermitien.
Le théorème du point fixe de Brouwer : toute application continue d'une boule fermée de dans elle-même admet un point fixe.
Le théorème de la boule chevelue : tout champ continu de vecteurs tangents à une sphère de dimension paire s'annule en au moins un point ; en conséquence, un tokamak ne peut avoir une géométrie sphérique.
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