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Concept
Matrice diagonalisable
Résumé
En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel.
Le fait qu'une matrice soit diagonalisable dépend du corps dans lequel sont cherchées les valeurs propres, ce que confirme la caractérisation par le fait que le polynôme minimal soit scindé à racines simples.
Cette caractérisation permet notamment de montrer que les projecteurs sont toujours diagonalisables, ainsi que les involutions si le corps des coefficients est de caractéristique différente de 2. Plus généralement, les endomorphismes et matrices d'ordre fini sont diagonalisables sur le corps des complexes. Au contraire, un endomorphisme nilpotent non nul ne peut pas être diagonalisable.
Les matrices réelles symétriques sont diagonalisables par une matrice orthogonale. Plus généralement les matrices normales, parmi lesquelles les matrices hermitiennes, antihermitiennes et unitaires sont diagonalisables à l'aide d'une matrice unitaire, ce qui conduit au théorème spectral.
La diagonalisation est la détermination effective d'une matrice de passage transformant une matrice diagonalisable en une matrice diagonale, ou la décomposition d'un espace vectoriel en une somme directe de droites stables par un endomorphisme.
Une matrice carrée à coefficients dans un corps K est dite diagonalisable sur K s'il existe une matrice inversible (appelée matrice modale) et une matrice diagonale à coefficients dans K satisfaisant la relation :
Dans ce cas, chaque vecteur colonne de la matrice est un vecteur propre pour la matrice , c'est-à-dire qu'il existe un scalaire sur la diagonale de tel que .
Réciproquement, si une matrice admet une famille de vecteurs propres qui forment une base de l'espace des vecteurs colonnes alors cette matrice est diagonalisable. Il suffit de construire la matrice inversible formée par une juxtaposition de ces vecteurs, la matrice diagonale étant définie par la suite des valeurs propres associées.
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