Matrice normale

Résumé

En algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients complexes est une matrice normale si elle commute avec sa matrice adjointe A*, c'est-à-dire si : A⋅A* = A*⋅A. Toutes les matrices hermitiennes, ou unitaires sont normales, en particulier, parmi les matrices à coefficients réels, toutes les matrices symétriques, antisymétriques ou orthogonales. Théorème Ce théorème — cas particulier du théorème de décomposition de Schur — est connu sous le nom de théorème spectral, et les éléments diagonaux de UAU sont alors les valeurs propres de A. Par conséquent, les valeurs singulières d'une matrice normale sont les modules de ses valeurs propres. Articles connexes

Endomorphisme normal

Normale he:העתקה נורמלית ja:正規作用素

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_normale

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Bounds for the decay of the entries in inverses and Cauchy-Stieltjes functions of certain sparse, normal matrices

Marcel Schweitzer

2018

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It is known that in many functions of banded, and more generally, sparse Hermitian positive definite matrices, the entries exhibit a rapid decay away from the sparsity pattern. This is in particular true for the inverse, and based on results for the inverse, bounds for Cauchy–Stieltjes functions of Hermitian positive definite matrices have recently been obtained. We add to the known results by considering the more general case of normal matrices, for which fewer and typically less satisfactory results exist so far. Starting from a very general estimate based on approximation properties of Chebyshev polynomials on ellipses, we obtain as special cases insightful decay bounds for various classes of normal matrices, including (shifted) skew- Hermitian and Hermitian indefinite matrices. In addition, some of our results improve over known bounds when applied to the Hermitian positive definite case.

MATHICSE2017

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MATHICSE Technical Report : A reduced basis approach to large-scale pseudospectra computation

Petar Sirkovic

For studying spectral properties of a non-normal matrix A ∈ Cn×n, information about its spectrum σ(A) alone is usually not enough. Effects of perturbations on σ(A) can be studied by computing ε-pseudospectra, that is the level-sets of the resolvent norm function g(z) = ‖(zI − A)−1‖2. The computation of ε-pseudospectra requires determining the smallest singular values σmin(zI − A) on for all z on a portion of the complex plane. In this work, we propose a reduced basis approach to pseudospectra computation that provides highly accurate estimates of pseudospectra in the region of interest. It incorporates the sampled singular vectors of zI − A for different values of z and implicitly exploits their smoothness properties. It provides rigorous upper and lower bounds for the pseudospectra in the region of interest. We also present a comparison of our approach to several existing approaches on a number of numerical examples, showing that our approach provides significant improvement in terms of computational time.

MATHICSE2016

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