Groupe du Rubik's Cube

Cet article présente un modèle mathématique et une présentation du groupe du Rubik's Cube. est le groupe des mouvements légaux ou le groupe des états (sans démonter le cube !). est le groupe élargi ou le groupe des états étendus (ici on peut démonter le cube, mais les mouvements des sommets et des arêtes doivent rester chaqu'un dans leur camp). est l'ensemble des classes d'équivalence pour la congruence modulo n. Il est isomorphe au groupe des n-èmes de tour d'axe donné. On utilisera en particulier C3 pour pivoter un coin du cube, et C2 pour pivoter une arête. On note à savoir . est le groupe symétrique d'ordre n. Ses éléments sont les permutations de n objets. Parmi ces permutations, celle de deux objets s'appelle transposition. On utilisera en particulier pour permuter les coins du cube, et pour permuter ses arêtes. La composition des permutations se lit de droite à gauche. désigne la signature d'une permutation de . Pour toute permutation s élément de , on note P(s) l'automorphisme défini par : . P(s) permute les composantes . s étant une bijection, on remarque que la somme des composantes est invariante : . P est un morphisme du groupe dans le groupe des automorphismes de . est le symbole d'un produit semi-direct interne, et celui d'un produit semi-direct externe induit par P. Les rotations d'un quart de tour, dans le sens des aiguilles d'une montre (sens direct par rapport à un axe entrant dans le cube), sont appelées , , , , , pour les faces droite (right), haut (up), gauche (left), avant (front), arrière (back) et bas (down). On identifie les sommets par 3 coordonnées et les arêtes par 2 ; par exemple FUL est le sommet de face en haut à gauche et BR est l'arête arrière droite. Un élément de H se décompose naturellement entre son action sur les coins et son action sur les arêtes, ces deux actions étant indépendantes. On introduit les deux sous-groupes Hco et Har constitués respectivement des mouvements agissant sur les coins et laissant invariante chaque arête, et des mouvements agissant sur les arêtes et laissant invariant chaque coin.