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Concept
Produit direct (groupes)
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit direct d'une famille de groupes est une structure de groupe qui se définit naturellement sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents à ces groupes.
Produit direct de deux groupes
Soient G_{1} et G_{2} deux groupes. Désignons par G_{1} \times G_{2} leur produit cartésien (ou, plus exactement, le produit cartésien de leurs ensembles sous-jacents). Il est naturel de définir sur G_{1} \times G_{2} une loi de composition \star composante par composante :
:(x_{1}, x_{2}) \star (y_{1}, y_{2}) = (x_{1}y_{1}, x_{2}y_{2}),
le produit x_{1}y_{1} apparaissant dans le second membre étant calculé dans G_{1} et le produit x_{2}y_{2} dans G_{2}. On vérifie facilement que cette loi de composition munit G_{1} \times G_{2} d'une structure de groupe. Ce groupe est
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