Produit direct (groupes)

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit direct d'une famille de groupes est une structure de groupe qui se définit naturellement sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents à ces groupes. Soient et deux groupes. Désignons par leur produit cartésien (ou, plus exactement, le produit cartésien de leurs ensembles sous-jacents). Il est naturel de définir sur une loi de composition composante par composante : le produit apparaissant dans le second membre étant calculé dans et le produit dans . On vérifie facilement que cette loi de composition munit d'une structure de groupe. Ce groupe est appelé produit direct (ou simplement produit) des groupes et et noté . Si et désignent respectivement les neutres de et de , le neutre de est . Le symétrique d'un élément de est l'élément . L'application définit un isomorphisme de sur (« commutativité » du produit direct) et l'application définit un isomorphisme de sur (« associativité » du produit direct). La définition qui précède se généralise comme suit à une famille quelconque de groupes. Il est clair que cette loi de composition est bien une loi de groupe. Puisqu'en théorie des ensembles, le produit cartésien d'une famille d'ensembles a pour cardinal le produit des cardinaux de ces ensembles, l'ordre du produit direct d'une famille de groupes est le produit des ordres de ces groupes. Remarques. Les notations ne sont pas tout à fait fixées. L'emploi ci-dessus du symbole est conforme à Bourbaki, à J.J. Rotman, à D.S. Dummit et R.M. Foote et Stellmacher notent ou encore ou encore le produit direct d'une famille finie de groupes. Ils n'emploient le symbole que pour désigner des opérations internes à un groupe. W. R. Scott, désigne par le produit direct d'une famille de groupes. Les groupes ne sont pas forcément deux à deux distincts. Si, par exemple, ils sont tous égaux à un même groupe G, le produit est égal à l'ensemble des applications de I dans G, muni de la loi de groupe définie par .