En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit direct d'une famille de groupes est une structure de groupe qui se définit naturellement sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents à ces groupes.
Soient et deux groupes. Désignons par leur produit cartésien (ou, plus exactement, le produit cartésien de leurs ensembles sous-jacents). Il est naturel de définir sur une loi de composition composante par composante :
le produit apparaissant dans le second membre étant calculé dans et le produit dans . On vérifie facilement que cette loi de composition munit d'une structure de groupe. Ce groupe est appelé produit direct (ou simplement produit) des groupes et et noté . Si et désignent respectivement les neutres de et de , le neutre de est . Le symétrique d'un élément de est l'élément .
L'application définit un isomorphisme de sur (« commutativité » du produit direct) et l'application définit un isomorphisme de sur (« associativité » du produit direct).
La définition qui précède se généralise comme suit à une famille quelconque de groupes.
Il est clair que cette loi de composition est bien une loi de groupe. Puisqu'en théorie des ensembles, le produit cartésien d'une famille d'ensembles a pour cardinal le produit des cardinaux de ces ensembles, l'ordre du produit direct d'une famille de groupes est le produit des ordres de ces groupes.
Remarques.
Les notations ne sont pas tout à fait fixées. L'emploi ci-dessus du symbole est conforme à Bourbaki, à J.J. Rotman, à D.S. Dummit et R.M. Foote et Stellmacher notent ou encore ou encore le produit direct d'une famille finie de groupes. Ils n'emploient le symbole que pour désigner des opérations internes à un groupe. W. R. Scott, désigne par le produit direct d'une famille de groupes.
Les groupes ne sont pas forcément deux à deux distincts. Si, par exemple, ils sont tous égaux à un même groupe G, le produit est égal à l'ensemble des applications de I dans G, muni de la loi de groupe définie par .
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In mathematics, a group G is called the direct sum of two normal subgroups with trivial intersection if it is generated by the subgroups. In abstract algebra, this method of construction of groups can be generalized to direct sums of vector spaces, modules, and other structures; see the article direct sum of modules for more information. A group which can be expressed as a direct sum of non-trivial subgroups is called decomposable, and if a group cannot be expressed as such a direct sum then it is called indecomposable.
In modular arithmetic, the integers coprime (relatively prime) to n from the set of n non-negative integers form a group under multiplication modulo n, called the multiplicative group of integers modulo n. Equivalently, the elements of this group can be thought of as the congruence classes, also known as residues modulo n, that are coprime to n. Hence another name is the group of primitive residue classes modulo n. In the theory of rings, a branch of abstract algebra, it is described as the group of units of the ring of integers modulo n.
vignette|Illustration d'un produit cartésien A x B où A={x,y,z} et B={1,2,3}. Cet article fait référence au concept mathématique sur les ensembles. Pour les graphes, voir produit cartésien de graphes. En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé également ensemble-produit, est l'ensemble de tous les couples dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement cette notion, valable pour deux ensembles, à celle de produit cartésien fini, qui est un ensemble de n-uplets dont les composantes appartiennent à n ensembles.
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