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Concept
Classe suivant un sous-groupe
Résumé
En théorie des groupes, les classes à gauche d'un groupe G suivant un sous-groupe H sont les parties de G de la forme gH avec g élément de G, où gH désigne l'ensemble des éléments gh quand h parcourt H. Elles constituent les classes d'une relation d'équivalence sur G, donc forment une partition de G. On peut les voir aussi comme les orbites de l'action à droite de H sur G, par translations par les symétriques des éléments de H.
L'ensemble des classes à gauche d'un groupe G suivant un sous-groupe H est noté G/H. Il est naturellement muni d'une action à gauche de G, qui est transitive.
L'ensemble des classes à droite d'un groupe G suivant un sous-groupe H est noté H\G. Il est défini de façon analogue et vérifie des propriétés semblables.
Si le sous-groupe H est normal, alors G/H et H\G coïncident et forment le groupe quotient de G par H.
Ces deux ensembles servent de modèles pour les espaces homogènes, car toute orbite d'une action de G s'identifie naturellement à un tel ensemble.
L'utilisation des classes intervient notamment dans l'étude des groupes finis, par exemple à travers le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow.
Soient H un sous-groupe d'un groupe G et g un élément de G.
On appelle classe à gauche de g suivant H l'ensemble gH défini par :
On appelle classe à droite de g suivant H l'ensemble Hg défini par :
L'ensemble des classes à gauche suivant H de tous les éléments de G se note G/H, et celui des classes à droite, H\G.
Étant donné un entier n fixé, l'ensemble nZ des entiers relatifs multiples de n forme un sous-groupe du groupe (Z,+).
La loi étant ici notée additivement, la classe à droite d'un entier r quelconque, suivant ce sous-groupe, est l'ensemble :C'est donc l'ensemble des entiers congrus à r modulo n, i.e. des entiers k tels que k - r appartient au sous-groupe nZ.
La classe à gauche de r est égale à sa classe à droite, puisque l'addition est commutative. L'ensemble de toutes ces classes est le groupe Z/nZ.
Dans le groupe symétrique S3 des six permutations de l'ensemble {1,2,3}, considérons le sous-groupe alterné A3, constitué des trois permutations paires.
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