Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.
Concept
Classe suivant un sous-groupe
Résumé
En théorie des groupes, les classes à gauche d'un groupe G suivant un sous-groupe H sont les parties de G de la forme gH avec g élément de G, où gH désigne l'ensemble des éléments gh quand h parcourt H. Elles constituent les classes d'une relation d'équivalence sur G, donc forment une partition de G. On peut les voir aussi comme les orbites de l'action à droite de H sur G, par translations par les symétriques des éléments de H.
L'ensemble des classes à gauche d'un groupe G suivant un sous-groupe H est noté G/H. Il est naturellement muni d'une action à gauche de G, qui est transitive.
L'ensemble des classes à droite d'un groupe G suivant un sous-groupe H est noté H\G. Il est défini de façon analogue et vérifie des propriétés semblables.
Si le sous-groupe H est normal, alors G/H et H\G coïncident et forment le groupe quotient de G par H.
Ces deux ensembles servent de modèles pour les espaces homogènes, car toute orbite d'une action de G s'identifie naturellement à un tel ensemble.
L'utilisation des classes intervient notamment dans l'étude des groupes finis, par exemple à travers le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow.
Soient H un sous-groupe d'un groupe G et g un élément de G.
On appelle classe à gauche de g suivant H l'ensemble gH défini par :
On appelle classe à droite de g suivant H l'ensemble Hg défini par :
L'ensemble des classes à gauche suivant H de tous les éléments de G se note G/H, et celui des classes à droite, H\G.
Étant donné un entier n fixé, l'ensemble nZ des entiers relatifs multiples de n forme un sous-groupe du groupe (Z,+).
La loi étant ici notée additivement, la classe à droite d'un entier r quelconque, suivant ce sous-groupe, est l'ensemble :C'est donc l'ensemble des entiers congrus à r modulo n, i.e. des entiers k tels que k - r appartient au sous-groupe nZ.
La classe à gauche de r est égale à sa classe à droite, puisque l'addition est commutative. L'ensemble de toutes ces classes est le groupe Z/nZ.
Dans le groupe symétrique S3 des six permutations de l'ensemble {1,2,3}, considérons le sous-groupe alterné A3, constitué des trois permutations paires.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.