Produit en couronne
En mathématiques, le produit en couronne est une notion de théorie des groupes. C'est un certain groupe construit à partir de deux groupes, le second opérant sur un ensemble. Il existe en fait plusieurs notions de produit en couronne, voisines mais distinctes. En théorie des groupes, le produit en couronne, outre qu'il fournit divers contre-exemples, permet notamment de décrire les sous-groupes de Sylow des groupes symétriques finis. On le rencontre également en théorie des graphes, comme groupe des automorphismes de certains graphes, entre autres de certains graphes ayant l'aspect d'une couronne. La notion de produit en couronne peut être étendue aux demi-groupes. Pour un ensemble X, nous désignerons ici par S et nous appellerons groupe symétrique de X l'ensemble des permutations de X, muni de la loi de groupe ∘ définie par f ∘ g : X → X : x ↦ f(g(x)). Cette définition convient à l'étude des actions à gauche d'un groupe sur un ensemble. Le groupe opposé du groupe noté ici S convient à l'étude des actions à droite. Quand nous parlerons d'une action d'un groupe sur un ensemble, il s'agira d'une action à gauche. On sait qu'à une action à gauche d'un groupe G sur un ensemble X correspond naturellement un homomorphisme de groupes de G dans S si bien qu'on peut voir l'un comme l'autre et vice-versa. Pour une permutation α d'un ensemble X et un élément x de X, il nous arrivera d'écrire αx au lieu de α(x). Pour deux permutations α et β d'un même ensemble E, il nous arrivera d'écrire αβ au lieu de α ∘ β, ce qui revient à noter multiplicativement le groupe S. On dira qu'une famille d'éléments d'un groupe G est de support fini si les éléments y de Y tels que a ≠ 1 sont en nombre fini. Une telle famille est une application de Y dans (l'ensemble sous-jacent à) G. Autrement dit on dira qu'une application f de Y dans G est de support fini si les éléments y de Y tels que f(y) ≠ 1 sont en nombre fini. Si G est un groupe et Y un ensemble, on notera G le produit direct (externe) de la famille, indexée par Y, de groupes tous égaux à G.