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Concept
Anneau adélique
Résumé
En mathématiques et dans la théorie des nombres, l'anneau adélique, ou anneau des adèles, est un anneau topologique contenant le corps des nombres rationnels (ou, plus généralement, un corps de nombres algébriques), construit à l'aide de toutes les complétions du corps.
Le mot « adèle » est une abréviation pour « additive idele » (« idèle additive »). . Les adèles étaient appelées vecteurs de valuation ou répartitions avant 1950.
La complétion profinie des entiers est la limite projective (ou limite inverse) des anneaux Z/nZ :
Par le théorème des restes chinois, il est isomorphe au produit de tous les entiers p-adiques :
le membre de droite étant muni de la topologie produit.
L'anneau adélique des entiers est le produit :
L'anneau adélique des rationnels est son extension des scalaires à tous les rationnels, soit le produit tensoriel :
topologisé de sorte que en est un sous-anneau ouvert. Plus précisément, une base de la topologie est donnée par les ensembles de la forme
où U est un ouvert de , S un ensemble fini de premiers et un ouvert de . La topologie adélique est plus fine que celle induite par la topologie produit de .
Plus généralement, l'anneau adélique d'un corps de nombres algébriques quelconque K est le produit tensoriel
topologisé comme le produit de deg(K) copies de .
L'anneau adélique des rationnels peut aussi être défini comme le produit restreint
de toutes les complétions p-adiques et des nombres réels ou, en d'autres termes, comme le produit restreint de toutes les complétions des rationnels. Dans ce cas, le produit restreint signifie que pour un adèle tous les ap sont des entiers p-adiques, sauf un nombre fini d'entre eux.
L'anneau des adèles d'un corps de fonctions sur un corps fini peut être défini d'une manière similaire, comme le produit restreint de toutes les complétions de ce corps.
Les adèles rationnels forment un groupe localement compact, les nombres rationnels Q formant un sous-groupe discret co-compact. L'utilisation des anneaux adéliques en relation avec les transformations de Fourier a été exploitée dans la thèse de Tate.
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