Sous-anneau

En mathématiques, un sous-anneau d'un anneau (unitaire) A est une partie de A stable pour les opérations de A et ayant une structure d'anneau avec le même neutre multiplicatif que A. Une partie B d'un anneau (A,+,*). est appelée un sous-anneau de A lorsque : B est un sous-groupe de A pour l'addition ; B est stable pour la multiplication ; Le neutre multiplicatif de A appartient à B. Pour les restrictions des opérations de A, B est alors lui-même un anneau, avec le même neutre multiplicatif. L'anneau Z des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau R des nombres réels ; Les polynômes sans monôme du premier degré forment un sous-anneau de l'anneau de polynômes R[X] ; Les fonctions continues de R vers R forment un sous-anneau de l'anneau de toutes les fonctions de R vers R. Pour n un entier naturel, l'ensemble T(C) des matrices triangulaires supérieures d'ordre n à coefficients complexes est un sous-anneau de l'anneau M(C) des matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes. En revanche : Dans l'anneau Z des entiers relatifs, l'ensemble 2Z des nombres pairs n'est pas un sous-anneau, bien qu'il vérifie les deux premières conditions de la définition, puisqu'il n'a pas de neutre multiplicatif. Dans la même veine mais plus subtilement, dans l'anneau M(R) des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels, le sous-ensemble S des matrices de la forme : est un anneau dont le neutre pour la multiplication est la matrice , mais ne contient pas l'élément neutre de l'anneau des matrices (qui est ). De ce fait, bien que S soit simultanément un anneau et un sous-ensemble de M(R), ce n'est pas un sous-anneau de M(R). Un sous-anneau d'un sous-anneau d'un anneau A est un sous-anneau de A. L'intersection de deux sous-anneaux d'un même anneau (ou d'une famille, même infinie) est un sous-anneau. L' d'un sous-anneau par un morphisme d'anneaux est un sous-anneau de l'anneau d'arrivée. L' d'un sous-anneau par un morphisme d'anneaux est un sous-anneau de l'anneau de départ.