En mathématiques, un sous-anneau d'un anneau (unitaire) A est une partie de A stable pour les opérations de A et ayant une structure d'anneau avec le même neutre multiplicatif que A.
Une partie B d'un anneau (A,+,*). est appelée un sous-anneau de A lorsque :
B est un sous-groupe de A pour l'addition ;
B est stable pour la multiplication ;
Le neutre multiplicatif de A appartient à B.
Pour les restrictions des opérations de A, B est alors lui-même un anneau, avec le même neutre multiplicatif.
L'anneau Z des entiers relatifs est un sous-anneau de l'anneau R des nombres réels ;
Les polynômes sans monôme du premier degré forment un sous-anneau de l'anneau de polynômes R[X] ;
Les fonctions continues de R vers R forment un sous-anneau de l'anneau de toutes les fonctions de R vers R.
Pour n un entier naturel, l'ensemble T(C) des matrices triangulaires supérieures d'ordre n à coefficients complexes est un sous-anneau de l'anneau M(C) des matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes.
En revanche :
Dans l'anneau Z des entiers relatifs, l'ensemble 2Z des nombres pairs n'est pas un sous-anneau, bien qu'il vérifie les deux premières conditions de la définition, puisqu'il n'a pas de neutre multiplicatif.
Dans la même veine mais plus subtilement, dans l'anneau M(R) des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels, le sous-ensemble S des matrices de la forme :
est un anneau dont le neutre pour la multiplication est la matrice , mais ne contient pas l'élément neutre de l'anneau des matrices (qui est ). De ce fait, bien que S soit simultanément un anneau et un sous-ensemble de M(R), ce n'est pas un sous-anneau de M(R).
Un sous-anneau d'un sous-anneau d'un anneau A est un sous-anneau de A.
L'intersection de deux sous-anneaux d'un même anneau (ou d'une famille, même infinie) est un sous-anneau.
L' d'un sous-anneau par un morphisme d'anneaux est un sous-anneau de l'anneau d'arrivée.
L' d'un sous-anneau par un morphisme d'anneaux est un sous-anneau de l'anneau de départ.
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En mathématiques, un sous-anneau d'un anneau (unitaire) A est une partie de A stable pour les opérations de A et ayant une structure d'anneau avec le même neutre multiplicatif que A. Une partie B d'un anneau (A,+,*). est appelée un sous-anneau de A lorsque : B est un sous-groupe de A pour l'addition ; B est stable pour la multiplication ; Le neutre multiplicatif de A appartient à B. Pour les restrictions des opérations de A, B est alors lui-même un anneau, avec le même neutre multiplicatif.
In algebra, the center of a ring R is the subring consisting of the elements x such that xy = yx for all elements y in R. It is a commutative ring and is denoted as ; "Z" stands for the German word Zentrum, meaning "center". If R is a ring, then R is an associative algebra over its center. Conversely, if R is an associative algebra over a commutative subring S, then S is a subring of the center of R, and if S happens to be the center of R, then the algebra R is called a central algebra.
In algebra, a unit or invertible element of a ring is an invertible element for the multiplication of the ring. That is, an element u of a ring R is a unit if there exists v in R such that where 1 is the multiplicative identity; the element v is unique for this property and is called the multiplicative inverse of u. The set of units of R forms a group R^× under multiplication, called the group of units or unit group of R. Other notations for the unit group are R∗, U(R), and E(R) (from the German term Einheit).
C'est un cours introductoire dans la théorie d'anneau et de corps.
The aim of this course is to learn the basics of the modern scheme theoretic language of algebraic geometry.
This is an introduction to modern algebra: groups, rings and fields.
Couvre les propriétés de l'algèbre des matrices et des concepts connexes.
Couvre la géométrie algébrique moderne, y compris les ensembles algébriques, les morphismes et les ensembles algébriques projectifs.
Discute des fonctions implicites régulières, des anneaux, des idéaux, des gerbes et des opérations des anneaux.