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Concept
Variété différentielle
Résumé
En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral.
Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace R. Les homéomorphismes locaux sont appelés cartes et définissent des systèmes de coordonnées locales. La structure différentielle est définie en exigeant certaines propriétés de régularité des applications de transition entre les cartes. Cette structure permet par exemple de donner une définition globale de la notion d'application différentiable, ou de champ de vecteurs avec ses courbes intégrales.
En revanche, à moins de munir la variété de structures supplémentaires (telle qu'une métrique riemannienne), les calculs de dérivées d'ordre 2, la notion de mesure d'une partie, n'admettent pas de généralisation naturelle.
Carte locale
Une variété topologique M de dimension n est un espace topologique séparé à base dénombrable, tel que chacun de ses points admet un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de l'espace vectoriel topologique R. Plus précisément :
il existe un voisinage ouvert et un homéomorphisme On dit alors que est une carte locale de M.
Une famille de cartes qui recouvre (entièrement) M constitue un atlas de la variété M.
Un tel atlas est dit de classe Ck, 1 ≤ k ≤ +∞, si :
pour tous les indices i et j tels que , l'application de changement de cartes
est un difféomorphisme de classe Ck, c'est-à-dire une bijection de classe Ck dont la bijection réciproque est aussi de classe Ck.
Deux atlas de classe Ck sur une même variété topologique M sont dits compatibles lorsque leur réunion est encore un atlas de classe Ck.
La relation de compatibilité ainsi introduite est une relation d'équivalence pour les atlas.
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